Question

已知函数f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x），（a＞0，且a≠1）．
（1）设a=2，函数g（x）的定义域为[-63，-3]，求g（x）的最值；
（2）求使f（x）＞g（x）的x的取值范围．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,函数的定义域及其求法

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）先判断函数的单调性，然后求函数的最值；（2）要按a＞1和0＜a＜1分类讨论，把解对数不等式转化为解一元一次不等式组．

解答： 解：（1）当a=2时，g（x）=log₂（1-x），
在[-63，-3]上为减函数，因此当x=-3时，g（x）的最小值为2，
当x=-63时，g（x）的最大值为6．
（2）当a＞1时，log_a（1+x）＞log_a（1-x），
满足

1+x＞1-x 1+x＞0 1-x＞0

∴0＜x＜1
当0＜a＜1时，log_a（1+x）＞log_a（1-x），
满足

1+x＜1-x 1+x＞0 1-x＞0

∴-1＜x＜0
综上：当a＞1时，解集为{x|0＜x＜1}，
     当0＜a＜1时，解集为{x|-1＜x＜0}．

点评：利用函数的单调性求函数的最值和值域是常用的一种方法；在解对数不等式时，当底数含有字母时要按底数进行分类讨论，在转化不等式时要注意真数大于0．