Question

若y=3^|x|（x∈[a，b]）的值域为[1，9]，则a²+b²-2a的取值范围是（ ）
A．[2，4]
B．[4，6]
C．
D．[4，12]

Answer 1

【答案】分析：先在坐标系中作出函数y=3^|x|的图象，由图象和题意求出a、b的范围，再分别代入式子a²+b²-2a进行化简，并且结合它们的范围求出式子a²+b²-2a的取值范围．
解答：解：在坐标系中作出函数y=3^|x|的图象，
∵y=3^|x|（x∈[a，b]）的值域为[1，9]，
∴由图得，函数的最小值是f（0）=1，最大值应是f（a）或f（b），
∵a＜b，∴由两种情况：a=-2，0≤b≤2或b=2，-2≤a≤0，
当a=-2，0≤b≤2时，设d=a²+b²-2a=8+b²，∵0≤b≤2，∴0≤b²≤4，
∴8≤d≤12，
当b=2，-2≤a≤0时，d=a²+b²-2a=3+（a-1）²
∵-2≤a≤0，∴1≤（a-1）²≤9，
∴4≤d≤12；
综上得，a²+b²-2a的取值范围是[4，12]．
故选D．
点评：本题考查了指数函数的图象以及性质，即根据指数函数的图象作出题中函数的图象，由图和函数的值域求取定义域，在求出所求式子的取值范围，考查了数形结合思想．