Question

12．如图所示，P是正方形ABCD对角线BD上一点，四边形PECF是矩形，求证：
（1）PA=EF；
（2）PA⊥EF．

Answer 1

分析 （1）利用正方形的关于对角线成轴对称，利用轴对称的性质可得出EF=AP；
（2）延长FP交AB于点G，延长AP交EF于点H，易证△PAG≌△FP，可求得∠FPH+∠PFH=90°，可证得结论．

解答 证明：（1）如图，连接PC，
∵PE⊥DC，PF⊥BC，四边形ABCD是正方形，
∴∠PEC=∠PFC=∠ECF=90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴PC=EF，
又∵P为BD上任意一点，
∴PA、PC关于BD对称，
可以得出，PA=PC，所以EF=AP．
（2）如图，延长FP交AB于点G，延长AP交EF于点H，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠C=∠ABC=90°，
又∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四边形PECF为矩形，
同理四边形BCFG也为矩形，
∴PE=FC=GB，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠GBD=45°，
又∵PG⊥AB，PE⊥BC，
∴四边形PEBG是正方形
∴PG=BG=PE，
又∵AB=BC=CD，
∴AG=EC=PF，
在△PAG和△EFP中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=PF}\\{∠AGP=∠FPE}\\{PG=PE}\end{array}\right.$，
∴△PAG≌△EFP（SAS），
∴∠APG=∠FEP=∠FPH，
∵∠FEP+∠PFH=90°，
∴∠FPH+∠PFH=90°，
∴AP⊥EF．

点评 此题主要考查了正方形的对称性，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．