Question

已知曲线D上任意一点P到两个定点F₁（-

3

，0）和F₂（

3

，0）的距离之和为4．
（Ⅰ）求曲线D的方程；
（Ⅱ）过曲线D上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量

OQ

=

OM

+

ON

，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用椭圆的定义，可求曲线D的方程；
（Ⅱ）设点M的坐标为（x₀，y₀）（y₀≠0），Q点坐标为（x，y），利用向量的坐标运算表示出M的坐标，再利用M点曲线D，其坐标适合方程，即可求得动点Q的轨迹方程，最后利用方程的形式进行判断是什么曲线即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵曲线D上任意一点P到两个定点F₁（-

3

，0）和F₂（

3

，0）的距离之和为4，
∴曲线D的轨迹是椭圆，且a=2，c=

3

，
∴b=1，
∴曲线D的方程为

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）设点M的坐标为（x₀，y₀）（y₀≠0），Q点坐标为（x，y），则N点坐标是（0，y₀）
∵向量

OQ

=

OM

+

ON

，∴（x，y）=（x₀，2y₀）即x₀=x，y₀=

y

2

，
∵

x02

4

+y02=1，∴x²+y²=4（y≠0），
轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆（除去与x轴的交点）．

点评：本题考查椭圆的定义与方程，考查轨迹方程的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．