Question

如图所示，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为A₁C₁与B₁D₁的交点．若

AB

=

a

，

AD

=

b

，

AA1

=

c

，则向量

BM

 用

a

，

b

，

c

，可表示为

 

．

Answer 1

分析：根据平行四边形的性质与向量的减法法则，得到

B1M

=

1

2

B 1D1

=

1

2

（

A1D1

-

A1B1

）=

1

2

（

b

-

a

）．再由向量加法的三角形法则，得到

BM

=

BB1

+

B1M

=

AA1

+

B1M

，从而可得

BM

=

c

+

1

2

（

b

-

a

），进而得到本题答案．

解答：解：∵平行四边形A₁B₁C₁D₁中，对角线A₁C₁、B₁D₁相交于点M，
∴向量

B1M

=

1

2

B 1D1

=

1

2

（

A1D1

-

A1B1

），
∵平行四边形AA₁B₁B中，

A1B1

=

A B

=

a

；平行四边形AA₁D₁D中，

A1D1

=

A D

=

b

，
∴

B1M

=

1

2

（

b

-

a

），
又∵

BB1

=

AA1

=

c

，
∴

BM

=

BB1

+

B1M

=

c

+

1

2

（

b

-

a

）=-

1

2

a

+

1

2

b

+

c

．
故答案为：-

1

2

a

+

1

2

b

+

c

点评：本题在平行六面体中，求向量

BM

用

AB

、

AD

、

AA1

表示的式子，着重考查了平行四边形与平行六面体的性质、向量的定义与加减法则等知识，属于中档题．