Question

5．已知⊙O的方程为x²+y²=4，A（1，1），B（-2，6）．
（1）若点P为⊙O上动点，求|PA|²+|PB|²的最大值；
（2）直线l过点A，被⊙O截得弦长为2$\sqrt{3}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）表示出|PA|²+|PB|²，利用圆的参数方程，即可求|PA|²+|PB|²的最大值；
（2）直线l过点A，被⊙O截得弦长为2$\sqrt{3}$，圆心到直线的距离为1，分类讨论，求直线l的方程．

解答 解：（1）设P（x，y），则|PA|²+|PB|²=（x-1）²+（y-1）²+（x+2）²+（y-6）²=50+2x-14y，
设x=2cosα，y=2sinα，则|PA|²+|PB|²=50+4cosα-28sinα=50+20$\sqrt{2}$sin（α+θ），
∴|PA|²+|PB|²的最大值为50+20$\sqrt{2}$；
（2）直线l过点A，被⊙O截得弦长为2$\sqrt{3}$，圆心到直线的距离为1，
斜率不存在时，直线x=1满足题意；
斜率存在时，设方程为y-1=k（x-1），即kx-y-k+1=0，
∴圆心到直线的距离为$\frac{|-k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，∴k=0，直线l的方程为y=1
综上所述，直线l的方程为y=1或x=1．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．