Question

在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁⊥面ABC，AA₁=

2

a，A₁C=CA=AB=a，AB⊥AC，D为AA₁的中点．
（I）求证：CD⊥面ABB₁A₁；
（II）在侧棱BB₁上取中点E，求二面角E-A₁C₁-A的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由面面垂直的性质定理得到AB⊥CD，再由A₁C=CA，D为AA₁的中点得到CD⊥AA₁，由线面垂直的判断得到结论；
（Ⅱ）首先证明A₁C⊥面ABC，然后以C为原点建立空间直角坐标系，运用平面法向量求解二面角．

解答：（Ⅰ）证明：∵侧面ACC₁A₁⊥面ABC，AB⊥AC，∴AB⊥平面ACC₁A₁，
又CD?面ACC₁A₁∴AB⊥CD，
又A₁C=CA，D为AA₁的中点，∴CD⊥AA₁，
由AB⊥CD，CD⊥AA₁，AB∩AA₁=A，
∴CD⊥平面ABB₁A₁．
（Ⅱ）解：∵AA₁=

2

a，A₁C=CA=a，∴A₁C⊥AC，又侧面ACC₁A₁⊥面ABC，∴A₁C⊥面ABC
在平面ABC内，过C点作AC的垂线为y轴，AC为x轴，A₁C为z轴建立如图所示空间坐标系．

不妨取a=1，其则A（1，0，0），B（1，1，0），A₁（0，0，1），C₁（-1，0，1），B₁（0，1，1）
E(

1

2

，1，

1

2

)，

A1C1

=(-1，0，0)；

A1E

=(

1

2

，1，-

1

2

)，
设面A₁C₁E的法向量为

n

=(x，y，z)，
由

n • A1C1 =0 n • A1E =0

⇒

-x=0 1 2 x+y- 1 2 z=0

，取z=2，得y=1，∴

n

=(0，1，2)，
又面ACA₁C₁法向量为

AB

=(0，1，0)，
则二面角的余弦为cosθ=

| n • AB |

| n || AB |

=

1

5

=

5

5

．

点评：本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了用空间向量求二面角的大小，用平面法向量求二面角时，注意法向量所成的角是二面角的平面角还是其补角，此题为中档题．