Question

抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点（4，4），焦点为F；
（1）求抛物线的焦点坐标和标准方程：
（2）P是抛物线上一动点，M是PF的中点，求M的轨迹方程．

Answer 1

解：（1）抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点（4，4），
设抛物线解析式为y²=2px，把（4，4）代入，得，16=2×4p，∴p=2
∴抛物线标准方程为：y²=4x，焦点坐标为F（1，0）
（2）设M（x，y），P（x₀，y₀），F（1，0），M是PF的中点
则x₀+1=2x，0+y₀=2 y
∴x₀=2x-1，y₀=2 y
∵P是抛物线上一动点，∴y₀²=4x₀
∴（2y）²=4（2x-1），化简得，y²=2x-1．
∴M的轨迹方程为 y²=2x-1．
分析：（1）先设出抛物线方程，因为抛物线过点（4，4），所以点（4，4）的坐标满足抛物线方程，就可求出抛物线的标准方程，得到抛物线的焦点坐标．
（2）利用相关点法求PF中点M的轨迹方程，先设出M点的坐标为（x，y），P点坐标为（x₀，y₀），把P点坐标用M点的坐标表示，再代入P点满足的方程，化简即可得到m点的轨迹方程．
点评：本题主要考查了抛物线的标准方程的求法，以及相关点法求轨迹方程，属于解析几何的常规题．