Question

函数f（x）=x³+ax与f（x）=bx²+c
（1）若点P（1，0）是函数与f（x）与g（x）的图象的一个公共点，且两函数的图象在点P处有相同的切线，求a，b，c
（2）若函数y=f（x）点（1，f（1））处的切线为1，若l与圆C：x2+y2=

1

4

相切，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用求导法则分别求出函数f（x）和g（x）的导函数，根据题意得到f'（1）=g′（1），代入后得到关系式，记作①
式，把P坐标代入f（x）得到关系式，记作②式，把P坐标代入g（x）得到关系式，记作③式，三式联立求出a，b及c的值即可；
（2）把x=1代入f（x）表示出f（1），进而表示出切点的坐标，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，由切点坐标和斜率写出切线的方程，然后由圆的标准方程找出圆心坐标和圆的半径，根据圆心到切线l的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解，即可得到a的值．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+a，g′（x）=2bx，
由f'（1）=g′（1）得：3+a=2b①，
由已知得：1+a=0②，b+c=0③，
解得：a=-1，b=-1，c=-1；
（2）f（1）=1+a，k=f′（1）=3+a，
∴l方程为（a+3）x-y-2=0，
∵l与圆相切，
∴

|-2|

(a+3)2+1

=

1

2

则a=-3±

15

．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：求导法则，利用导数研究曲线上某点的切线方程，点到直线的距离公式，直线的点斜式方程，其中切点横坐标所对应的导函数值为切线方程的斜率，直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握以上性质是解本题的关键．