Question

某城市为了解决人民路拥挤现象，政府决定建设高架公路，该高架公路两端的桥墩及引桥已建好，这两桥墩相距1280米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+

x

)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
（1）试写出y关于x的函数关系式；
（2）政府至少还需投入多少万元资金才能启动此工程建设，此时新建桥墩有多少个？

Answer 1

分析：（1）先根据题意设需要新建n个桥墩，得出n与x的关系式，再结合题意即可写出y关于x的函数关系式；
（2）利用导数研究函数f（x）的单调性，先求出原函数的导数，利用f'（x）＜0，f（x）减函数，当f'（x）＞0．f（x）为增函数进而得出f（x）的最小值，从而解决问题．

解答：解：（1）设需要新建n个桥墩，（n+1）x=1280，即n=

1280

x

-1（2分）
所以y=f(x)=32n+(n+1)(2+

x

)x（5分）
=

40960

x

+1280

x

+2528（0＜x＜1280）（6分）
（2）由（1）知，f′(x)=-

40960

x2

+640x

3

2

=

640

x2

(x

3

2

-64)（8分）
令f'（x）=0，得x

3

2

=64，所以x=16（9分）
当0＜x＜16时f'（x）＜0，f（x）在区间（0，16）内为减函数；（10分）
当16＜x＜1280时，f'（x）＞0．f（x）在区间（16，1280）内为增函数，（11分）
所以f（x）在x=16处取得最小值f（16）=10208万元（12分）
此时，n=

1280

x

-1=79（14分）
故政府至少还需投入10208万元资金此时新建桥墩有79个．（15分）

点评：本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力．属于基础题．