Question

在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P．问：
①依据题意画出这个几何体；
②这个几何体由哪几个面构成，每个面的三角形是什么三角形；
③若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少．

Answer 1

分析：①这个几何体是一个四边体；
②这个几何体由四个面构成，即面DEF、面DFP、面DEP、面EFP．由平几知识，∠DPE=∠EPF=∠DPF=90°，从而判断△DEF，△DFP、△EFP、△DEP的形状．
③由②可知，DE=DF=

5

a，EF=

2

a，利用三角形的面积公式即可求得每个面的三角形面积．

解答：解：①如图所示．
②这个几何体由四个面构成，即面DEF、面DFP、面DEP、面EFP．
由平几知识可知DE=DF，∠DPE=∠EPF=∠DPF=90°，
所以△DEF为等腰三角形，△DFP、△EFP、△DEP为直角三角形．
③由②可知，DE=DF=

5

a，EF=

2

a，所以，S_△DEF=

3

2

a²．DP=2a，EP=FP=a，
所以S_△DPE=S_△DPF=a²，S_△EPF=

1

2

a²．

点评：本小题主要考查棱锥的结构特征，三角形面积和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．