【题目】已知椭圆的离心率为,且过点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若,为椭圆上不同的两点,且以为直径的圆过坐标原点.是否存在定圆与动直线相切?若存在,求出该圆的方程;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】
(1)根据离心率得到的值,将的坐标代入椭圆方程,结合,求得的值,进而求得椭圆标准方程.(2)当直线的倾斜角是时,求得直线的方程,此时直线和圆:相切. 当直线的倾斜角不是时,设出直线的的方程,联立直线的方程和椭圆方程,消去,写出韦达定理,利用则列方程,利用点到直线的距离公式求得原点到直线的距离为定值,这个定值恰好是圆的半径.由此证得结论成立.
(1)∵,∴.
即,∴,则椭圆方程为:.
又椭圆过点,∴,∴,则所求椭圆方程为:.
(2)当直线的倾斜角是时,直线的方程是:,
与定圆:相切.
下证任意性,当直线的倾斜角不是时,
设直线:,,,
,
∴,
∵以为直径的圆过坐标原点,∴.
而,
∴ ,
即,
圆心到直线的距离,
即直线与圆:相切.
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【题目】已知椭圆过点P(2,1).
(1)求椭圆C的方程,并求其离心率;
(2)过点P作x轴的垂线l,设点A为第四象限内一点且在椭圆C上(点A不在直线l上),点A关于l的对称点为A',直线A'P与C交于另一点B.设O为原点,判断直线AB与直线OP的位置关系,并说明理由.
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【题目】如图,一个六边形点阵,它的中心是1个点(第1层),第2层每边有2个点, 第3层每边有3个点,…,依此类推,若一个六边形点阵共有217个点,那么它的层数为( )
A.10B.9C.8D.7
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【题目】研究变量,得到一组样本数据,进行回归分析,有以下结论
①残差平方和越小的模型,拟合的效果越好;
②用相关指数来刻画回归效果,越小说明拟合效果越好;
③在回归直线方程中,当解释变量每增加1个单位时,预报变量平均增加0.2个单位
④若变量和之间的相关系数为,则变量和之间的负相关很强,以上正确说法的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】已知直线x=﹣2上有一动点Q,过点Q作直线l,垂直于y轴,动点P在l1上,且满足(O为坐标原点),记点P的轨迹为C.
(1)求曲线C的方程;
(2)已知定点M(,0),N(,0),点A为曲线C上一点,直线AM交曲线C于另一点B,且点A在线段MB上,直线AN交曲线C于另一点D,求△MBD的内切圆半径r的取值范围.
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【题目】某火锅店为了解气温对营业额的影响,随机记录了该店1月份中5天的日营业额y(单位:千元)与该地当日最低气温x(单位:℃)的数据,如下表:
x | 2 | 5 | 8 | 9 | 11 |
y | 12 | 10 | 8 | 8 | 7 |
(1)求y关于x的回归方程;
(2)判定y与x之间是正相关还是负相关;若该地1月份某天的最低气温为6℃,用所求回归方程预测该店当日的营业额;
附:①;.
②参考数据如下:
i | ||||
1 | 2 | 12 | 4 | 24 |
2 | 5 | 10 | 25 | 50 |
3 | 8 | 8 | 64 | 64 |
4 | 9 | 8 | 81 | 72 |
5 | 11 | 7 | 121 | 77 |
35 | 45 | 295 | 287 |
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【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为,过点的直线的参数方程为(为参数),直线与曲线相交于两点.
(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;
(2)若,求的值.
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【题目】在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线交于两点,且设定点,求的值.
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