Question

某公园的大型中心花园的边界为椭圆，花园内种植各种花草，为增强观赏性，在椭圆内以其中心为直角顶点且关于中心对称的两个直角三角形内种植名贵花草，并以该直角三角形斜边开辟观赏小道(不计小道的宽度)，某园林公司承接了该中心花园的施工建设，在施工时发现，椭圆边界上任意一点到椭圆两焦点距离和为4(单位：百米)，且椭圆上点到焦点的最近距离为1(单位：百米)，
(1)试以椭圆中心为原点建立适当的坐标系，求出该椭圆的标准方程；
(2)请计算观赏小道的长度(不计小道宽度)的最大值。

Answer 1

解：(1)如图，以两焦点连线为x轴，中心为坐标原点建立直角坐标系， 设椭圆的方程为1(a＞b＞0)， 由已知，2a=4，a-c=1， ∴a=2，c=1， ∴， 故椭圆的标准方程为。
(2)①若该直角三角形斜边所在的直线的斜率存在且不为0， 设直角三角形斜边所在直线方程为y=kx+m， 该直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立方程组得3x2+4(kx+m)2=12， 即(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0， 则Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=48(4k2-m2+3)＞0，即4k2-m2+3＞0， ， y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2 ， 要使△AOB为直角三角形，需使x1x2+y1y2=0， 即， 所以7m2-12k2-12=0， 即， 故4k2-m2+3=4k2+3-， 所以 ， 当且仅当时，等号成立； ②若该直角三角形斜边所在的直线的斜率不存在或斜率为0， 则斜边长为； 综上可知，观赏小道长度的最大值为百米。