Question

有6本不同的书.

(1)分给甲、乙、丙三人，如果每人得2本有多少种方法？

(2)分给甲、乙、丙三人，如果甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少种分法？

(3)分给甲、乙、丙三人，如果1人得1本，1人得2本，1人得3本，有多少种分法？

(4)分成三堆，其中一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种分法？

(5)平均分成三堆，有多少种分法？

(6)分成四堆，其中2堆各1本，2堆各2本，有多少种分法？

(7)分给4人，其中2人各1本，2人各2本，有多少种分法？

Answer 1

解析:(1)甲先取2本有种方法，乙再从余下的4本书中取2本有种方法，丙取最后2本书有种方法，因此总共有··=90种方法.

(2)同(1)有··=60种分法.

(3)三人中没有指明谁是甲、乙、丙，而三人中谁是甲、乙、丙可有种方法，所以共有···=360种分法.

(4)同(2)有··=60种分法.

(5)同(2)有··种分法，下面对其正确性进行研究：设有a、b、c、d、e、f六本书，则中有可能为a、b,可能为c、d,可能为e、f,即有一分堆方法：a、b,c、d,e、f；同时中也有可能为c、d,中可能为e、f,可能为a、b,显然这种分组方法同上，故··种方法中有重复，应剔除.注意到a、b,c、d，e、f的所有排列只对应一种分堆方法，故分堆方法应为=15种方法.

本题还可用下面的方法处理：

设每堆2本的分法为x.分给甲、乙、丙每人两本，则可分步进行，先平均分成3堆，有x种方法，再将3堆不同的书送给3位同学，有种方法.所以x·=··.所以x=15.

(6)同(5)，有=45种方法.

(7)同(5)(6),有·=1 080种方法.

小结:(1)以“书”为主元素比以“人”为主元素考虑要方便.

(2)平均分组应防止重复.

(3)平均(部分均匀)分成m组，则需除以，若有序，则再乘以全排列.

(4)复杂问题〔如(7)〕可先组合(分组)后排序.