Question

设F₁，F₂分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，若在直线x=

a2

c

上存在点P，使线段PF₁的中垂线过点F₂，则椭圆的离心率的取值范围是

（

3

3

，1）

．

Answer 1

分析：设准线与x轴的交点为Q，连结PF₂，根据平面几何的知识可得|PF₂|=|F₁F₂|=2c且|PF₂|≥|QF₂|，由此建立关于a、c的不等关系，化简整理得到关于离心率e的一元二次不等式，解之即可得到椭圆离心率e的取值范围．

解答：解：设准线与x轴的交点为Q，连结PF₂，
∵PF₁的中垂线过点F₂，
∴|F₁F₂|=|PF₂|，可得|PF₂|=2c，
∵|QF₂|=

a2

c

-c，且|PF₂|≥|QF₂|，
∴2c≥

a2

c

-c，两边都除以a得2•

c

a

≥

a

c

-

c

a

，
即2e≥

1

e

-e，整理得3e²≥1，解得e≥

3

3

，
结合椭圆的离心率e∈（0，1），得

3

3

≤e＜1．
故答案为：（

3

3

，1）．

点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆离心率的范围．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、线段的垂直平分线性质和不等式的解法等知识，属于中档题．