分析 (Ⅰ)首先求出函数的导数,利用函数单调性与导数的关系求单调区间以及极大值;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论,首先讨论k=1时是否满足题意;然后讨论k>1与k<1时函数的单调性与极值.
解答 解:(Ⅰ)当k=1时,f(x)=2lnx-(x-1)2-2(x-1)2lnx-x2+1,(x>0)
所以f'(x)=$\frac{2}{x}-2x$=$\frac{2(1+x)(1-x)}{x}$,
令f'(x)>0,得0<x<1,
令f'(x)=0得x=1,令f'(x)<0得x>1,
所以f(x)在(0,1)上的单调递增,在(1,+∞)单调递减;
当x=1时取极大值0;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,若k=1,当x>1时,f(x)<f(x)极大值=0,即不存在x0>1,当x∈(1,x0)时,恒有f(x)>0;
若k>1,当x>1时,f(x)=2lnx-(x-1)2-2k(x-1)<2lnx-(x-1)2-2(x-1)<0,即不存在x0>1,当x∈(1,x0)时,恒有f(x)>0;
若k<1,f(x)=2lnx-(x-1)2-2k(x-1).f'(x)=$\frac{2}{x}-2x+2-2k$=$\frac{2}{x}$[-x2+(1-k)x+1],
令f'(x)=0,即-x2+(1-k)x+1=0,解得x1=$\frac{k-1+\sqrt{(1-k)^{2}+4}}{-2}=\frac{1-k-\sqrt{(1-k)^{2}+4}}{2}$<0,
x2=$\frac{k-1-\sqrt{(1-k)^{2}+4}}{-2}$=$\frac{1-k+\sqrt{(1-k)^{2}+4}}{2}$>1,
所以当0<x<x2时,f'(x)>0,即f(x)在(0,x2)上是单调递增函数,所以在(1,x2)上是单调增函数,且f(1)=0,
所以存在x0>1,当x∈(1,x0)时,恒有f(x)>0.
综上k的取值范围是(-∞,1).
点评 本题考查了函数的大小与导数的关系;考查了讨论的数学思想;属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
年 份 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 |
年份代号t | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
人口总数y | 8 | 8 | 8 | 9 | 9 | 10 | 11 |
A. | (3,9) | B. | (9,3) | C. | (6,14) | D. | (4,11) |
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A. | 24π | B. | $24π+8\sqrt{2}π$ | C. | $24π+4\sqrt{2}π$ | D. | 32π |
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每吨产品 | 煤(吨) | 水(吨) | 电(千瓦) |
A | |||
B |
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A. | 直角三角形 | B. | 等腰三角形 | ||
C. | 等腰直角三角形 | D. | 等腰或直角三角形 |
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A. | 圆 | B. | 椭圆 | C. | 抛物线 | D. | 双曲线 |
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