图1 图2
(1)求证:AE⊥BD;
(2)求证:平面PEF⊥平面AECD;
(3)判断DE能否垂直于平面ABC,并说明理由.
(1)证明:连结BD,取AE中点M,连结BM,DM.
∵在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD,∠ABC=60°,E是BC的中点,
∴△ABE与△ADE都是等边三角形.∴BM⊥AE,DM⊥AE.
∵BM∩DM=M,BM,DM?平面BDM,
∴AE⊥平面BDM.
∵BD平面BDM,∴AE⊥BD.
(2)证明:连结CM交EF于点N,连结PN,
∵ME∥FC,且ME=FC,∴四边形MECF是平行四边形.
∴N是线段CM的中点.
∵P是线段BC的中点,∴PN∥BM.
∵BM⊥平面AECD,∴PN⊥平面AECD.
又∵PN平面PEF,∴平面PEF⊥平面AECD.
(3)解:DE与平面ABC不垂直.
证明:假设DE⊥平面ABC,则DE⊥AB,
∴BM⊥平面AECD.∴BM⊥DE.
∵AB∩BM=B,AB,BM平面ABE,∴DE⊥平面ABE.
∴DE⊥AE,这与∠AED=60°矛盾.
∴DE与平面ABC不垂直.
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