Question

【题目】已知二次函数，不等式的解集有且只有一个元素，设数列的前项和.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前项和.

（3）设各项均不为0的数列中，满足的正整数的个数称为这个数列的变号数，令，求数列的变号数.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）先根据不等式的解集有且只有一个元素再结合求出，进而代入求出；再根据前项和与通项之间的关系即可求出数列的通项公式； （2）先求出数列的通项，再结合裂项相消法求出数列的前项和；

（3）先根据条件求出数列的通项，再通过作差求出数列的单调性，最后结合变号数的定义即可得到结论．

解：（1）不等式地的解集有且只有一个元素，

，又，故，

，

当时，，

当时，，

不满足，

.

（2），

当时，，

.

又也满足该式，故.

（3），，，，，

当时，

，

故当时，，

，，，当时，恒成立，

故数列的变号数为3.