Question

已知角A、B、C为△ABC的三个内角，其对边分别为a、b、c，若＝(－cos，sin)，＝(cos，sin)，a＝2，且·＝．

（Ⅰ）若△ABC的面积S＝，求b＋c的值．（Ⅱ）求b＋c的取值范围．

Answer 1

(Ⅰ)  4  (Ⅱ)   (2，4].

解析:

（Ⅰ）∵＝(－cos，sin)，＝(cos，sin)，且·＝，

∴－cos²＋sin²＝，即－cosA＝，又A∈(0，π)，∴A＝.又由S△ABC＝bcsinA＝，所以bc＝4，由余弦定理得：a²＝b²＋c²－2bc·cos＝b²＋c²＋bc，∴16＝(b＋c)²，故b＋c＝4.

（Ⅱ）由正弦定理得：＝＝＝＝4，又B＋C＝p－A＝，

∴b＋c＝4sinB＋4sinC＝4sinB＋4sin(－B)＝4sin(B＋)，

∵0＜B＜，则＜B＋＜，则＜sin(B＋)≤1，即b＋c的取值范围是(2，4].