Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点F（1，0），离心率为e．
（1）若e=

2

2

，求椭圆方程；
（2）设直线y=kx（k＞0）与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF，BF的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上．
（i）将k表示成e的函数；
（ii）当e∈(

2

2

，

3

2

]时，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点F（1，0），e=

2

2

，建立方程，可得椭圆的几何量，从而可得椭圆方程；
（2））（i）直线y=kx（k＞0）与椭圆方程联立，求出A，B的坐标，利用坐标原点O在以MN为直径的圆上，可得

OM

•

ON

=

1

4

[(x1+1)(x2+1)+y1y2]=0，化简可得结论；
（ii）当e∈(

2

2

，

3

2

]时，结合（i）的结论，即可求k的取值范围．

解答：解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点F（1，0），e=

2

2

，
∴

c=1 c a = 2 2

∴c=1，a=

2

∴b=

a2-c2

=1
∴椭圆方程为

x2

2

+y2=1；
（2）（i）直线y=kx（k＞0）与椭圆方程联立，可得

x2

a2

+

(kx)2

b2

=1
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁=-

a2b2 b2+a2k2

，x₂=

a2b2 b2+a2k2

∴y₁=-k•

a2b2 b2+a2k2

，y₂=k•

a2b2 b2+a2k2

∵坐标原点O在以MN为直径的圆上
∴

OM

•

ON

=

1

4

[(x1+1)(x2+1)+y1y2]=0
∴(-

a2b2 b2+a2k2

+1)(

a2b2 b2+a2k2

+1)-k2•

a2b2 b2+a2k2

•

a2b2 b2+a2k2

=0
∴k2=

b2-a2b2

a2b2-a2

∴k=±

1-e2

2e2-1

；
（ii）∵e∈(

2

2

，

3

2

]，∴2e2-1∈(0，

1

2

]
设

2e2-1

=t，则t∈(0，

2

2

]
∴k=±

1-t2

2t

，∴|k|=

1-t2

2t

∵t∈(0，

2

2

]，∴

1-t2

2t

∈[

2

4

，+∞)
∴k≥

2

4

或k≤-

2

4

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．