Question

2．从包含甲、乙2人的8人中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？
（1）甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒；
（2）甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒；
（3）甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒．

Answer 1

分析 （1）甲、乙两人必须跑中间两棒，甲和乙两个人本身有一个排列，余下的两个位置需要在6个人中选个排列
（2）甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒，需要从甲和乙两个人中选出一个有C₂¹种结果，需要在第一和第四棒中选一棒，有C₂¹种结果，另外6个人要选三个在三个位置排列．
（3）首先甲和乙两个人在相邻的位置本身有A₂²种结果，其余6名同学选两人三个元素在三个位置排列共有C₆²A₃³种结果，根据计数原理得到结果．

解答 解：（1）甲、乙两人必须跑中间两棒，甲和乙两个人本身有一个排列，
余下的两个位置需要在6个人中选2个排列
根据分步计数原理知道共有A₂²A₆²=60
（2）甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒，
需要从甲和乙两个人中选出一个有C₂¹种结果，
需要在第一和第四棒中选一棒，有C₂¹种结果，
另外6个人要选三个在三个位置排列，根据计数原理共有C₂¹C₂¹A₆³=480
（3）∵甲、乙两名同学必须入选，而且必须跑相邻两棒
∴首先甲和乙两个人在相邻的位置本身有A₂²种结果，
其余6名同学选两人三个元素在三个位置排列共有C₆²A₃³种结果，
根据分步计数原理得到共有A₂²C₆²A₃³=180，

点评 本题考查的是排列、组合的实际应用问题，解题的关键认真分析题意，把实际问题转化为数学问题，进而进行分步、分类分析讨论，结合排列、组合公式进行计算．