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    9．如图，四边形ABCD中，AB⊥CD，AD∥BC，AD=3，BC=2AB=2，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC．
    （Ⅰ）若BE=$\frac{1}{2}$，在折叠后的线段AD上是否存在一点P，且$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{PD}$，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由；
    （Ⅱ）求三棱锥A-CDF的体积的最大值，并求此时二面角E-AC-F的余弦值．

    分析 （Ⅰ）推导出FD⊥EF，FD⊥AF，以F为坐标原点，分别以FE，FD，FA所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段AD上存在点P（0，$\frac{3}{2}，\frac{1}{5}$），$\overrightarrow{AP}=\frac{3}{2}\overrightarrow{PD}$，使得CP∥平面ABEF．
    （Ⅱ）设BE=x，则AF=x（0＜x≤2），FD=3-x，推导出当x=$\frac{3}{2}$时，VA-CDF有最大值，且最大值为$\frac{3}{8}$，求出此时平面AEC的一个法向量和平面ACF的一个法向量，利用向量法能求出二面角E-AC-F的余弦值．

    解答 解：（Ⅰ）∵平面ABEF⊥平面EFDC，平面ABEF∩平面EFDC=EF，
    FD⊥EF，
    ∴FD⊥平面ABEF，又AF?平面ABEF，
    ∴FD⊥AF，
    在折起过程中，AF⊥EF，同时FD∩EF=F，
    ∴AF⊥平面EFDC，
    以F为坐标原点，分别以FE，FD，FA所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
    当BE=$\frac{1}{2}$时，F（0，0，0），A（0，0，$\frac{1}{2}$），D（0，$\frac{5}{2}$，0），C（1，$\frac{3}{2}$，0），
    平面ABEF的法向量$\overrightarrow{FD}$=（0，$\frac{5}{2}$，0），
    ∵$\overrightarrow{AP}$=$λ\overrightarrow{PD}$，∴$\overrightarrow{FP}$=$\frac{1}{1+λ}\overrightarrow{FA}$+$\frac{λ}{1+λ}\overrightarrow{FD}$=$\frac{1}{1+λ}（0，0，\frac{1}{2}）+\frac{λ}{1+λ}（0，\frac{5}{2}，0）$，
    ∴P（0，$\frac{5λ}{2+2λ}$，$\frac{1}{2+2λ}$），
    ∴$\overrightarrow{CP}$=（-1，$\frac{2λ-3}{2+2λ}$，$\frac{1}{2+2λ}$），
    ∵CP∥平面ABEF，∴$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{FD}$=$\frac{5（2λ-3）}{2（2+2λ）}$=0，
    解得$λ=\frac{3}{2}$，
    ∴线段AD上点P（0，$\frac{3}{2}，\frac{1}{5}$），且$\overrightarrow{AP}=\frac{3}{2}\overrightarrow{PD}$，使得CP∥平面ABEF．
    （Ⅱ）设BE=x，则AF=x（0＜x≤2），FD=3-x，
    ∴VA-CDF=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×x×（3-x）$=$\frac{1}{6}x（3-x）$=-$\frac{1}{6}$（x-$\frac{3}{2}$）2+$\frac{3}{8}$，
    ∴当x=$\frac{3}{2}$时，VA-CDF有最大值，且最大值为$\frac{3}{8}$，
    ∴A（0，0，$\frac{3}{2}$），C（1，$\frac{1}{2}$，0），D（0，$\frac{3}{2}$，0），E（1，0，0），
    ∴$\overrightarrow{AE}$=（1，0，-$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{AC}$=（1，$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{FA}$=（0，0，$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{FC}$=（1，$\frac{1}{2}$，0），
    设平面AEC的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
    则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=2x+y-3z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=2x-3z=0}\end{array}\right.$，取x=3，得$\overrightarrow{m}$=（3，0，2），
    设平面ACF的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
    则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FA}=\frac{3}{2}c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FC}=a+\frac{1}{2}b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-2，0），
    cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{13}×\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{65}}{65}$．
    ∴二面角E-AC-F的余弦值为$\frac{3\sqrt{65}}{65}$．

    点评 本题考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

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