Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n和通项a_n满足2S_n+a_n=1，数列{b_n}中，b₁=1，b₂=

1

2

，

2

bn+1

=

1

bn+1

+

1

bn+2

（n∈N）．求数列{a_n}，{b_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由2S_n+a_n=1，得Sn=

1

2

(1-an)，由此推导出{a_n}是首项为

1

3

，公比为

1

3

的等比数列，从而求出a_n=（

1

3

）ⁿ．由b₁=1，b₂=

1

2

，

2

bn+1

=

1

bn+1

+

1

bn+2

（n∈N），得

1

b1

=1，

2

b2

=2，d=

1

b2

-

1

b1

=1，由此推导出{

1

bn

}是首项为1，公差为1的等差数列，从而求出b_n=

1

n

解答： 解：由2S_n+a_n=1，得Sn=

1

2

(1-an)，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

(1-an)-

1

2

(1-an-1)=-

1

2

an+

1

2

an-1，
∴3a_n=a_n-1，
由题意知a_n-1≠0，∴

an

an-1

=

1

3

，
又S1=a1=

1

2

(1-a1)，解得a1=

1

3

，
∴{a_n}是首项为

1

3

，公比为

1

3

的等比数列，
∴a_n=（

1

3

）ⁿ．
由b₁=1，b₂=

1

2

，

2

bn+1

=

1

bn+1

+

1

bn+2

（n∈N），
得

1

b1

=1，

2

b2

=2，d=

1

b2

-

1

b1

=1，
∴{

1

bn

}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴

1

bn

=1+（n-1）×1=n，
∴b_n=

1

n

．

点评：本题考查数列通项公式的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．