Question

在如图所示的多面体中，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，EC⊥AC，EF∥AC，AB=

2

，EF=EC=1，
（1）求证：平面BEF⊥平面DEF；
（2）求二面角A-BF-E的大小．

Answer 1

分析：（1）以点C为坐标原点，CD为x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，然后分别求出平面BEF、平面DEF的法向量分别，根据法向量的数量积为0可得结论；
（2）先求出平面ABF的法向量然后求出与平面BEF的法向量的夹角，根据图形可知二面角A-BF-E的平面角是钝角，从而求出二面角的大小．

解答：解：（1）∵平面ACEF⊥平面ABCD，
EC⊥AC，∴EC⊥平面ABCD；
建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，是A(

2

，

2

，0)
B(0，

2

，0)，D(

2

，0，0)，E(0，0，1)，F(

2

2

，

2

2

，1)，
∴

EF

=(

2

2

，

2

2

，0)，

BE

=(0，-

2

，1)，

DE

=(-

2

，0，1)
设平面BEF、平面DEF的法向量分别为

m

=(x1，y，1)，

n

=(x2，y2，1)，
则

m

•

EF

=

2

2

x1+

2

2

y1=0①

m

•

BE

=-

2

y1+1=0②

n

•

EF

=

2

2

x2+

2

2

y2=0③

n

•

DE

=-

2

x2+1=0④
由①②③④解得x₁=-

2

2

，y1=

2

2

；x₂=

2

2

，y2=-

2

2

，
∴

m

=(-

2

2

，

2

2

，1)，

n

=(

2

2

，-

2

2

，1)（4分）
∴

m

•

n

=-

1

2

-

1

2

+1=0，∴

m

⊥

n

，
故平面BEF⊥平面DEF（6分）
（2）设平面ABF的法向量

p

=(x1，y1，1)，∵BF=(

2

2

，-

2

2

，1)，

BA

=(

2

，0，0)
∴

p

•

BF

=

2

2

x3-

2

2

y3+1=0，

p

•

BA

=

2

x3=0，解得x3=0，y3=

2

∴

p

=(0，

2

，1)（8分）
∴cos＜

m

，

p

＞=

m • p

| m |•| p |

=

2

2 • 3

=

6

3

（10分）
由图知，二面角A-BF-E的平面角是钝角，
故所求二面角的大小为：π-arccos

6

3

．（12分）

点评：本题主要考查了面面垂直的判定，以及二面角大小的度量，同时考查了推理能力、计算能力，以及应用向量知识解决立体几何问题的能力．