Question

数列{b_n}（n∈N^*）是递增的等比数列，且b₁+b₃=5，b₁b₃=4．数列{a_n}满足a_n=log₂b_n+3．
（Ⅰ）求数列{b_n}，{a_n}的通项公式：
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，是否存在正整数n，使得数列{

4Sn-11n

n

}前n项和为T_n满足T_n-（n-1）²=4025？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）设等比数列{b_n}的公比为q，由于b₁+b₃=5，b₁b₃=4．b₁＜b₃，解得b₁=1，b₃=4．利用b3=b1q2，q＞0，解得q．可得b_n．利用数列{a_n}满足a_n=log₂b_n+3．即可得出．
（II）利用等差数列的前n项和公式可得S_n，可得

4Sn-11n

n

=2n-1．可得T_n=n²．假设存在正整数n，使得数列{

4Sn-11n

n

}前n项和为T_n满足T_n-（n-1）²=4025，解出即可．

解答： 解：（I）设等比数列{b_n}的公比为q，
∵b₁+b₃=5，b₁b₃=4．b₁＜b₃，解得b₁=1，b₃=4．
∴4=1×q²，q＞0，解得q=2．
∴bn=2n-1．
∵数列{a_n}满足a_n=log₂b_n+3，
∴a_n=n-1+3=n+2．
（II）Sn=

n(3+n+2)

2

，
∴

4Sn-11n

n

=

2n(n+5)-11n

n

=2n-1．
∴T_n=

n(1+2n-1)

2

=n²．
假设存在正整数n，使得数列{

4Sn-11n

n

}前n项和为T_n满足T_n-（n-1）²=4025，
∴n²-（n-1）²=4025，
∴2n-1=4025，解得n=2013．
∴存在正整数n=2013，使得数列{

4Sn-11n

n

}前n项和为T_n满足T_n-（n-1）²=4025．

点评：本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．