Question

已知集合M={x|-ax²+2x+1=0}只有一个元素，，B={y|y=-x²+2x-1}．
（1）求A∩B；
（2）设N是由a可取的所有值组成的集合，试判断N与A∩B的关系．

Answer 1

解：（1）由x+1≥0，得x≥-1，
∴A={x|x≥-1}；
由y=-x²+2x-1=-（x-1）²，得y≤0，
∴B={y|y≤0}，
∴A∩B={x|-1≤x≤0}．
（2）∵集合M={x|-ax²+2x+1=0}只有一个元素，
∴当a=0时，方程2x+1=0只有一个实数解，符合题意；
当a≠0时，△=4-4（-a）=0，
解得a=-1．
∴N={-1，0}，
∴N⊆（A∩B）．
分析：（1）由x+1≥0，得A={x|x≥-1}；由y=-x²+2x-1=-（x-1）²，得B={y|y≤0}，由此能求出A∩B．
（2）由集合M={x|-ax²+2x+1=0}只有一个元素，解得a=0，或a=-1．故N={-1，0}，由此得到N⊆（A∩B）．
点评：本题考查交集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．