【题目】【2015高考四川,文21】已知函数f(x)=-2lnx+x2-2ax+a2,其中a>0.
(Ⅰ)设g(x)为f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;
(Ⅱ)证明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.
【答案】见解析
【解析】(Ⅰ)由已知,函数f(x)的定义域为(0,+∞)
g(x)=f '(x)=2(x-1-lnx-a)
所以g'(x)=2-
当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减
当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增
(Ⅱ)由f '(x)=2(x-1-lnx-a)=0,解得a=x-1-lnx
令Φ(x)=-2xlnx+x2-2x(x-1-lnx)+(x-1-lnx)2=(1+lnx)2-2xlnx
则Φ(1)=1>0,Φ(e)=2(2-e)<0
于是存在x0∈(1,e),使得Φ(x0)=0
令a0=x0-1-lnx0=u(x0),其中u(x)=x-1-lnx(x≥1)
由u'(x)=1-≥0知,函数u(x)在区间(1,+∞)上单调递增
故0=u(1)<a0=u(x0)<u(e)=e-2<1
即a0∈(0,1)
当a=a0时,有f '(x0)=0,f(x0)=Φ(x0)=0
再由(Ⅰ)知,f '(x)在区间(1,+∞)上单调递增
当x∈(1,x0)时,f '(x)<0,从而f(x)>f(x0)=0
当x∈(x0,+∞)时,f '(x)>0,从而f(x)>f(x0)=0
又当x∈(0,1]时,f(x)=(x-a0)2-2xlnx>0
故x∈(0,+∞)时,f(x)≥0
综上所述,存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.
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【题目】如图,边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直,AD与CE的交点为M,,且AC=BC.
(1)求证:平面EBC;
(2)求二面角的大小.
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【题目】某理科考生参加自主招生面试,从7道题中(4道理科题3道文科题)不放回地依次任取3道作答.
(1)求该考生在第一次抽到理科题的条件下,第二次和第三次均抽到文科题的概率;
(2)规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题,该考生答对理科题的概率均为,答对文科题的概率均为
,若每题答对得10分,否则得零分.现该生已抽到三道题(两理一文),求其所得总分
的分布列与数学期望
.
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【题目】【2017届广东省珠海市高三上学期期末考试文数】已知函数的最小值为0,其中
,设
.
(1)求的值;
(2)对任意恒成立,求实数
的取值范围;
(3)讨论方程在
上根的个数.
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【题目】【2014福建,文22】已知函数(
为常数)的图像与
轴交于点
,曲线
在点
处的切线斜率为
.
(1)求的值及函数
的极值;
(2)证明:当时,
(3)证明:对任意给定的正数,总存在
,使得当
时,恒有
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【题目】【2014高考陕西版文第21题】设函数.
(1)当(
为自然对数的底数)时,求
的最小值;
(2)讨论函数零点的个数;
(3)若对任意恒成立,求
的取值范围.
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【题目】已知二次函数(其中
)满足下列3个条件:
①函数的图象过坐标原点;
②函数的对称轴方程为
;
③方程有两个相等的实数根,
令.
(1)求函数的解析式;
(2)求使不等式恒成立的实数
的取值范围;
(3)已知函数在
上的最小值为
,求实数
的值.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线在平面直角坐标系
下的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求曲线的普通方程及极坐标方程;
(2)直线的极坐标方程是
,射线
:
与曲线
交于点
与直线
交于点
,求线段
的长.
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