Question

已知集合A={x|x²-5x+4≤0}，集合B={x|x²-2ax+a+2≤0}．
（1）若B⊆A，求实数a的取值范围；
（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：集合的包含关系判断及应用

专题：集合

分析：（1）设f（x）=x²-2ax+a+2，它的图象是一条开口向上的抛物线，B⊆A可知集合B为空集或解决是[1，4]的子区间，结合图象建立不等关系，解之即可．
（2）若A⊆B，则

f(1)≤0 f(4)≤0

，解得实数a的取值范围．

解答： 解：（1）A={x|x²-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}．
设f（x）=x²-2ax+a+2，它的图象是一条开口向上的抛物线
①若B=ϕ，满足条件，此时△＜0，即4a²-4（a+2）＜0，
解得-1＜a＜2；
②若B≠ϕ，设抛物线与x轴交点的横坐标为x₁，x₂，
且x₁≤x₂，欲使B⊆A，应有{x|x₁≤x≤x₂}⊆{x|1≤x≤4}，
结合二次函数的图象，得

f(1)≥0 f(4)≥0 1≤- -2a 2 ≤4 △≥0

即

3-a≥0 18-7a≥0 1≤a≤4 4a2-4a+8≥0

解得2≤a≤

18

7

．
综上可知a的取值范围是（-1，

18

7

]．
（2）若A⊆B，设f（x）=x²-2ax+a+2，它的图象是一条开口向上的抛物线
则

f(1)≤0 f(4)≤0

，
即

3-a≤0 18-7a≤0

，
解得a≥3．
综上可知a的取值范围是[3，+∞）

点评：本题主要考查了集合的包含关系判断及应用，以及二次函数的图象，属于中档题．