Question

已知f(x)=3-2|x|，g(x)=x 2-2x，F(x)=

g(x)，当f(x)≥g(x)时 f(x)，当f(x)＜g(x)时

，则F（x）的最值是（　　）

• A．最大值为3，最小值-1
• B．最大值为7-2

  7

  ，无最小值
• C．最大值为3，无最小值
• D．既无最大值为，也无最小值

Answer 1

分析：将函数f（x）化简，去掉绝对值后，分别解不等式f（x）≥g（x）和f（x）＜g（x），得到相应的x的取值范围．最后得到函数F（x）在三个不同区间内分段函数的表达式，然后分别在三个区间内根据单调性，求出相应式子的值域，最后得到函数F（x）在R上的值域，从而得到函数有最大值而无最小值．

解答：解：f（x）=3-2|x|=

3-2x    (x≥0) 3+2x   (x＜0)

①当x≥0时，解f（x）≥g（x），得3-2x≥x²-2x⇒0≤x≤

3

；
解f（x）＜g（x），得3-2x＜x²-2x⇒x＞

3

．
②当x＜0，解f（x）≥g（x），得3+2x≥x²-2x⇒2-

7

≤x＜0；
解f（x）＜g（x），得3+2x＜x²-2x⇒x＜2-

7

；
综上所述，得F(x)= 

3+2x      (x＜2- 7 ) x2-2x     (2- 7 ≤x≤ 3 )  3-2x       (x＞ 3 )

分三种情况讨论：
①当x＜2-

7

时，函数为y=3+2x，在区间（-∞，2-

7

）是单调增函数，故F（x）＜F（2-

7

）=7-2

7

；
②当2-

7

≤x≤

3

时，函数为y=x²-2x，在（2-

7

，1）是单调增函数，在（1，

3

）是单调减函数，
故-1≤F（x）≤2-

7

③当x＞

3

时，函数为y=3-2x，在区间（

3

，+∞）是单调减函数，故F（x）＜F（

3

）=3-2

3

＜0；
∴函数F（x）的值域为（-∞，7-2

7

]，可得函数F（x）最大值为F（2-

7

）=7-2

7

，没有最小值．
故选B

点评：本题以含有绝对值的函数和分段函数为载体，考查了函数的值域与最值的求法、基本初等函数的单调性和值域等知识点，属于中档题．