Question

4．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，2AC=PC=2，AC⊥BC，F为AP的中点，M、N、D、E分别为线段PC、PB、AC、AB上的动点，且MN∥BC∥DE．
（I）求证：DE⊥面PAC；
（Ⅱ）若M是PC的中点，D是线段AC靠近A的一个三等分点，求二面角F-MN-D的余弦值．

Answer 1

分析 （I）根据线面垂直的判定定理即可证明DE⊥面PAC；
（Ⅱ）根据二面角平面角的定义得到∠FMD是二面角F-MN-D的平面角，进行求解即可．

解答 证明：（I）∵AC⊥BC，BC∥DE，
∴AC⊥DE，
∵PA⊥平面ABC，DE?平面ABC，
∴PA⊥DE，
∵AC∩PA=A，
∴DE⊥面PAC；
解：（Ⅱ）∵MN∥DE，结合（Ⅰ）的结论，
∴MN⊥平面PAC，
∴MN⊥FN，MN⊥DM，
∴∠FMD是二面角F-MN-D的平面角，
∵2AC=PC=2，
∴AC=1，PC=2，
∴由条件知∠ACP=30°，FM=$\frac{1}{2}$，CD=$\frac{2}{3}$，
则DM=$\sqrt{1+\frac{4}{9}-2×1×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，
FD=$\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{9}}$=$\frac{\sqrt{31}}{6}$，
∴在△FMD中，cos∠FMD=$\frac{\frac{1}{4}+\frac{7}{9}-\frac{31}{36}}{2×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{7}}{3}}$=$\frac{\sqrt{7}}{14}$．

点评 本题主要考查空间线面垂直的判断以及二面角的求解，根据二面角平面角的定义作出二面角的平面角是解决本题的关键．综合考查学生的运算和推理能力．