分析 (I)根据线面垂直的判定定理即可证明DE⊥面PAC;
(Ⅱ)根据二面角平面角的定义得到∠FMD是二面角F-MN-D的平面角,进行求解即可.
解答 证明:(I)∵AC⊥BC,BC∥DE,
∴AC⊥DE,
∵PA⊥平面ABC,DE?平面ABC,
∴PA⊥DE,
∵AC∩PA=A,
∴DE⊥面PAC;
解:(Ⅱ)∵MN∥DE,结合(Ⅰ)的结论,
∴MN⊥平面PAC,
∴MN⊥FN,MN⊥DM,
∴∠FMD是二面角F-MN-D的平面角,
∵2AC=PC=2,
∴AC=1,PC=2,
∴由条件知∠ACP=30°,FM=$\frac{1}{2}$,CD=$\frac{2}{3}$,
则DM=$\sqrt{1+\frac{4}{9}-2×1×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$,
FD=$\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{9}}$=$\frac{\sqrt{31}}{6}$,
∴在△FMD中,cos∠FMD=$\frac{\frac{1}{4}+\frac{7}{9}-\frac{31}{36}}{2×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{7}}{3}}$=$\frac{\sqrt{7}}{14}$.
点评 本题主要考查空间线面垂直的判断以及二面角的求解,根据二面角平面角的定义作出二面角的平面角是解决本题的关键.综合考查学生的运算和推理能力.
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A. | $\frac{1}{3}$或6 | B. | $\frac{1}{6}$或3 | C. | $\frac{1}{3}$或-6 | D. | $\frac{1}{6}$或-3 |
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A. | $\sqrt{2}$ | B. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | C. | -$\sqrt{2}$ | D. | -$\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
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A. | 2$\sqrt{7}$ | B. | 8 | C. | 6$\sqrt{2}$ | D. | 2$\sqrt{19}$ |
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