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如图,设P是抛物线C1:x2=y上的动点.过点P做圆C2:x2+(y+3)2=1的两条切线,交直线l:y=-3于A,B两点.
(Ⅰ)求C2的圆心M到抛物线 C1准线的距离.
(Ⅱ)是否存在点P,使线段AB被抛物线C1在点P处的切线平分?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】分析:(Ⅰ)先求出抛物线 C1准线的方程,再利用点到直线距离的求法求出C2的圆心M到抛物线 C1准线的距离即可.
(Ⅱ)先设抛物线 C1在点P处的切线交直线l于点D,线段AB被抛物线C1在点P处的切线平分即为xA+xB=2XD.设出过点P做圆C2x2+(y+3)2=1的两条切线PA,PB,与直线y=-3联立,分别求出A,B,D三点的横坐标,代入xA+xB=2XD.看是否能解出点P,即可判断出是否存在点P,使线段AB被抛物线C1在点P处的切线平分.
解答:解:(Ⅰ)因为抛物线 C1准线的方程为:y=-
所以圆心M到抛物线 C1准线的距离为:|--(-3)|=
(Ⅱ)设点P的坐标为(x,x2),抛物线 C1在点P处的切线交直线l与点D,
因为:y=x2,所以:y′=2x;
再设A,B,D的横坐标分别为xA,xB,xD
∴过点P(x,x2)的抛物线 C1的切线的斜率k=2x
过点P(x,x2)的抛物线 C1的切线方程为:y-x2=2x(x-x)    ①
当 x=1时,过点P(1,1)且与圆C2相切的切线PA方程为:y-1=(x-1).可得xA=-,xB=1,xD=-1,xA+xB≠2xD
当x=-1时,过点P(-1,1)且与圆C2的相切的切线PB的方程为:y-1=-(x+1).可得xA=-1,xB=,xD=1,xA+xB≠2xD
所以x2-1≠0.设切线PA,PB的斜率为k1,k2
则:PA:y-x2=k1(x-x)   ②
PB:y-x2=k2(x-x).③
将y=-3分别代入①,②,③得(x≠0);(k1,k2≠0)
从而

即(x2-1)k12-2(x2+3)xk1+(x2+3)2-1=0,
同理(x2-1)k22-2(x2+3)xk2+(x2+3)2-1=0,,
所以k1,k2是方程(x2-1)k2-2(x2+3)xk+(x2+3)2-1=0的两个不等的根,
从而k1+k2=,k1•k2=,,
因为xA+xB=2XD..
所以2x-(3+x2)()=,即=
从而
进而得x4=8,
综上所述,存在点P满足题意,点P的坐标为(,2).
点评:本题是对椭圆与抛物线,以及直线与椭圆和抛物线位置关系的综合考查.在圆锥曲线的三种常见曲线中,抛物线是最容易的,而双曲线是最复杂的,所以一般出大题时,要么是单独的椭圆与直线,要么是椭圆与抛物线,直线相结合.这一类型题目,是大题中比较有难度的题.
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如图,P是抛物线C:x2=2y上一点,F为抛物线的焦点,直线l过点P且与抛物线交于另一点Q,已知P(x1,y1),Q(x2,y2).
(1)若l经过点F,求弦长|PQ|的最小值;
(2)设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0)与x轴交于点S,与y轴交于点T
①求证:
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
=|b|(
1
y1
+
1
y2
)

②求
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
的取值范围.

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如图,斜率为1的直线过抛物线Ω:y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线交于两点A,B,
(1)若|AB|=8,求抛物线Ω的方程;
(2)设C为抛物线弧AB上的动点(不包括A,B两点),求△ABC的面积S的最大值;
(3)设P是抛物线Ω上异于A,B的任意一点,直线PA,PB分别交抛物线的准线于M,N两点,证明M,N两点的纵坐标之积为定值(仅与p有关)

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如图,斜率为1的直线过抛物线的焦点F,与抛物线交于两点AB

   (1)若|AB|=8,求抛物线的方程;

   (2)设C为抛物线弧AB上的动点(不包括AB两点),求的面积S的最大值;

   (3)设P是抛物线上异于AB的任意一点,直线PAPB分别交抛物线的准线于MN两点,证明MN两点的纵坐标之积为定值(仅与p有关)

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科目:高中数学 来源:山东省枣庄市2010届高三年级调研考试数学(文科)试题 题型:解答题

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