Question

函数y=a^4-x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0（mn＞0）上，则

1

m

+

1

n

的最小值为

9

．

Answer 1

分析：利用a⁰=1（a≠0）即可得出定点A，代入直线mx+ny-1=0（mn＞0）即可得到m、n的关系，再利用“乘1法”和基本不等式即可得出．

解答：解：x=4时，y=a^4-4=a⁰=1，∴函数y=a^4-x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（4，1），代入直线mx+ny-1=0（mn＞0）得4m+n=1，
∴

1

m

+

1

n

=(4m+n)(

1

m

+

1

n

)=5+

n

m

+

4m

n

≥5+2

n m • 4m n

=9，当且仅当n=2m=

1

3

是取等号．
故答案为9．

点评：熟练掌握a⁰=1（a≠0）、“乘1法”和基本不等式是解题的关键．