Question

9．已知函数f（x）=（m+2cos²x）•cos（2x+θ）为奇函数，且f（$\frac{π}{4}$）=0，其中m∈R，θ∈（0，π）
（Ⅰ）求函数f（x）的图象的对称中心和单调递增区间
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且f（$\frac{C}{2}$+$\frac{π}{24}$）=-$\frac{1}{2}$，c=1，ab=2$\sqrt{3}$，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把x=$\frac{π}{4}$代入函数解析式可求得m的值，进而根据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cosθ，则θ的值可得函数解析式，进而可得函数f（x）的图象的对称中心和单调递增区间
（Ⅱ）由f（$\frac{C}{2}$+$\frac{π}{24}$）=-$\frac{1}{2}$可得C角，结合余弦定理及c=1，ab=2$\sqrt{3}$，可得△ABC的周长．

解答 解：（Ⅰ）f（$\frac{π}{4}$）=-（m+1）sinθ=0，
∵θ∈（0，π）．
∴sinθ≠0，
∴m+1=0，即m=-1，
∵f（x）为奇函数，
∴f（0）=（m+2）cosθ=0，
∴cosθ=0，θ=$\frac{π}{2}$．
故f（x）=（-1+2cos²x）cos（2x+$\frac{π}{2}$）=cos2x•（-sin2x）=-$\frac{1}{2}$sin4x，
由4x=kπ，k∈Z得：x=$\frac{1}{4}$kπ，k∈Z，
故函数f（x）的图象的对称中心坐标为：（$\frac{1}{4}$kπ，0），k∈Z，
由4x∈[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，k∈Z得：x∈[$\frac{π}{8}$+$\frac{1}{2}$kπ，$\frac{3π}{8}$+$\frac{1}{2}$kπ]，k∈Z，
即函数f（x）的单调递增区间为[$\frac{π}{8}$+$\frac{1}{2}$kπ，$\frac{3π}{8}$+$\frac{1}{2}$kπ]，k∈Z，
（Ⅱ）∵f（$\frac{C}{2}$+$\frac{π}{24}$）=-$\frac{1}{2}$sin（2C+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，C为三角形内角，
故C=$\frac{π}{6}$，
∴c²=a²+b²-2abcosC=${a}^{2}+{b}^{2}-\sqrt{3}ab$=${（a+b）}^{2}-（2+\sqrt{3}）ab$，
∵c=1，ab=2$\sqrt{3}$，
∴a+b=2+$\sqrt{3}$，
∴a+b+c=3+$\sqrt{3}$，
即△ABC的周长为3+$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题．综合运用了所学知识解决问题的能力．