Question

【题目】数列是公比为正数的等比数列，，；数列的前项和为，满足，.

（1）求，；

（2）求数列，的通项公式；

（3）求.

Answer 1

【答案】（1）1，5；（2），；（3）.

【解析】

（1）根据题意，可知数列满足，令和时，代入计算，即可求出，；

（2）运用等比数列的通项公式求出基本量，即可求出的通项公式；根据和的关系和递推关系，利用等差中项法证明是首项为，公差的等差数列，即可求出的通项公式；

（3）由（2）得出，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求结果.

解：（1）由于数列满足，，

则，解得：，

，解得：.

（2）由题可知，等比数列的公比为正数，即，

且，

易知，解得或（舍去），

则，故，；

由于，①

则，，②

①-②得：，③

则有：，，④

同理③-④得：，（注，也符合），

则为等差数列，首项，公差，

故，．

（3）由（2）得出，

设，

则，

，

两式相减可得：，

即，

化简可得，

即.