Question

某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490，495]，（495，500]，…（510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．
（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设ξ为重量超过505克的产品数量，求ξ的分布列和数学期望；
（3）从该流水线上任取5件产品，求恰有3件产品的重量超过505克的概率．

Answer 1

分析：（1）先求重量超过505克的产品的频数，注意用纵坐标乘以组距为该组数据的频率，再求重量超过505克的产品数量，即用频率乘以样本容量
（2）先确定ξ的所有可能取值，再计算取每个值时的概率，注意运用计数原理及组合知识，最后列出分布列，利用期望公式求随机变量的期望
（3）由样本估计从流水线上任取一件产品重量超过505克的概率为0.3，所以“从该流水线上任取5件产品，恰有3件产品的重量超过505克”为独立重复试验，由独立重复试验发生的概率公式计算即可

解答：解：（1）由图可知重量超过505克的产品的频率为（0.05+0.01）×5=0.3
∴重量超过505克的产品数量为0.3×40=12件
（2）ξ的所有可能取值为0，1，2
P（ξ=0）=

C 2 28

C 2 40

=

63

130

P（ξ=1）=

C 1 12 C 1 28

C 2 40

=

28

65

P（ξ=2）=

C 2 12

C 2 40

=

11

130

∴ξ的分布列为
ξ的期望为
E（ξ）=1×

28

65

+2×

11

130

=

39

65

（3）由样本估计从流水线上任取一件产品重量超过505克的概率为

12

40

=

3

10

∴从该流水线上任取5件产品，求恰有3件产品的重量超过505克的概率为

C

3 5

 (

3

10

)3  (

7

10

)2=

1323

10000

点评：本题综合考查了频率分布直方图的识别，离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，独立重复试验发生的概率求法