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(2012•许昌三模)已知a>0,且a≠1,函数y=ax-1与y=loga(x+1)的图象分别恒过定点A,B,过点A的直线l1与过点B的直线l2垂直相交于点Q,则点Q的轨迹方程是
x2-x+y2-y=0或(x-
1
2
2+(y-
1
2
2=
1
2
x2-x+y2-y=0或(x-
1
2
2+(y-
1
2
2=
1
2
分析:由y=ax-1与y=loga(x+1)的图象分别恒过定点A,B,利用指数函数与对数函数的性质得出A和B的坐标,若过点A的直线l1的斜率为k(k存在且不为0),利用两直线垂直时斜率的乘积为-1表示出过点B的直线l2的斜率,进而表示出两直线方程,联立两方程,消去k,即可得到y与x的关系式;若过点A的直线l1的斜率不存在,求出此时Q的坐标为(1,0),代入y与x的关系式满足,综上得到点Q的轨迹方程.
解答:解:由函数y=ax-1与y=loga(x+1)的图象分别恒过定点A,B,
可得A(1,1),B(0,0),
若过点A的直线l1的斜率存在,设为k(k≠0),直线l2垂直的斜率为-
1
k

可得直线l1的解析式为:y-1=k(x-1),直线l2解析式为:y=-
1
k
x,
联立两解析式,解得:
x=
k2-k
k2+1
y=
1-k2
k2+1

消去k得到x2-x+y2-y=0;
若过点A的直线l1的斜率不存在,此时Q(1,0),代入满足x2-x+y2-y=0,
综上,点Q的轨迹方程为x2-x+y2-y=0或(x-
1
2
2+(y-
1
2
2=
1
2

故答案为:x2-x+y2-y=0或(x-
1
2
2+(y-
1
2
2=
1
2
点评:此题考查了圆的标准方程,涉及的知识有:动点的轨迹方程,对数函数与指数函数的特殊点,两直线垂直时斜率的关系,以及直线的点斜式方程,是一道综合性较强的试题.
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3
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