【题目】如图所示,已知长方体ABCD中, 为DC的中点.将△ADM沿AM折起,使得AD⊥BM.
(1)求证:平面ADM⊥平面ABCM;
(2)是否存在满足 的点E,使得二面角E﹣AM﹣D为大小为 .若存在,求出相应的实数t;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)证明:∵长方形ABCD中,AB=2AD=2 ,M为DC的中点,
∴AM=BM=2,AM2+BM2=AB2,∴BM⊥AM,
∵AD⊥BM,AD∩AM=A,∴BM⊥平面ADM,
又BM平面ABCM,∴平面ADM⊥平面ABCM
(2)解:以M为原点,MA为x轴,MB为y轴,过M作平面ABCM的垂线为z轴,
建立空间直角坐标系,
则A(2,0,0),B(0,2,0),D(1,0,1),M(0,0,0),
=(0,2,0), =(1,﹣2,1), = =(t,2﹣2t,1),
设平面AME的一个法向量为 =(x,y,z),
则 ,
取y=t,得 =(0,t,2t﹣2),
由(1)知平面AMD的一个法向量 =(0,1,0),
∵二面角E﹣AM﹣D为大小为 ,
∴cos = = = ,
解得t= 或t=2(舍),
∴存在满足 的点E,使得二面角E﹣AM﹣D为大小为 ,相应的实数t的值为 .
【解析】(1)推导出BM⊥AM,AD⊥BM,从而BM⊥平面ADM,由此能证明平面ADM⊥平面ABCM.(2)以M为原点,MA为x轴,MB为y轴,过M作平面ABCM的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出存在满足 的点E,使得二面角E﹣AM﹣D为大小为 ,并能求出相应的实数t的值.
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【题目】在平面直角坐标系xoy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ= ,曲线C的参数方程为 .
(1)写出直线l与曲线C的直角坐标方程;
(2)过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点,若|MA||MB|= ,求点M轨迹的直角坐标方程.
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【题目】斐波拉契数列0,1,1,2,3,5,8…是数学史上一个著名的数列,定义如下:F(0)=0,F(1)=1,F(n)=F(n﹣1)+F(n﹣2)(n≥2,n∈N).某同学设计了一个求解斐波拉契数列前15项和的程序框图,那么在空白矩形和判断框内应分别填入的词句是( )
A.c=a,i≤14
B.b=c,i≤14
C.c=a,i≤15
D.b=c,i≤15
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【题目】已知椭圆C: + =1(a>b>0)经过点P(2, ),离心率e= ,直线l的渐近线为x=4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)经过椭圆右焦点D的任一直线(不经过点P)与椭圆交于两点A,B,设直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1 , k2 , k3 , 问是否存在常数λ,使得k1+k2=λk3?若存在,求出λ的值若不存在,说明理由.
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【题目】已知双曲线C: ﹣ =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1 , F2 , O为坐标原点,点P是双曲线在第一象限内的点,直线PO,PF2分别交双曲线C的左、右支于另一点M,N,若|PF1|=2|PF2|,且∠MF2N=120°,则双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】下列命题正确的是( )
A.?x0∈R,sinx0+cosx0=
B.?x≥0且x∈R,2x>x2
C.已知a,b为实数,则a>2,b>2是ab>4的充分条件
D.已知a,b为实数,则a+b=0的充要条件是 =﹣1
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【题目】某品牌的汽车4S店,对最近100例分期付款购车情况进行统计,统计结果如表所示,已知分9期付款的频率为0.4;该店经销一辆该品牌的汽车.若顾客分3期付款,其利润为1万元;分6期或9期付款,其利润为2万元;分12期付款,其利润为3万元.
付款方式 | 分3期 | 分6期 | 分9期 | 分12期 |
频数 | 20 | 20 | a | b |
(1)若以表中计算出的频率近似替代概率,从该店采用分期付款购车的顾客(数量较大)中随机抽取3位顾客,求事件A:“至多有1位采用分6期付款”的概率P(A);
(2)按分层抽样的方式从这100位顾客中抽出5人,再从抽出的5人中随机抽取3人,记该店在这3人身上赚取的总利润为随机变量η,求η的分布列及数学期望E(η).
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【题目】将函数 图象上的点 向右平移m(m>0)个单位长度得到点P',若P'位于函数y=cos2x的图象上,则( )
A. ,m的最小值为
B. ,m的最小值为
C. ,m的最小值为
D. ,m的最小值为
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