Question

已知函数f（x）=（常数a＞0），且f（1）+f（3）=-2．
（1）求a的值；
（2）试研究函数f（x）的单调性，并比较f（t）与的大小；
（3）设g（x）=，是否存在实数m使得y=g（x）有零点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由f（1）+f（3）=+=-2．
有a（a-2）=0．
又a＞0，所以a=2．
（2）由（1）知函数f（x）=，
其定义域为（-∞，2）∪（2，+∞），
设x₁、x₂∈（-∞，2）且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=-=＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），故f（x）在区间（-∞，2）上是增函数，同理可得，f（x）在区间（2，+∞）上是增函数．
令h（x）==+2，
则函数h（x）在区间（-∞，0），（0，+∞）上是减函数，
当t∈时，f（t）＞f=，
h（t）＜h=-1，2^h（t）＜2^-1=，
所以f（t）＞．
当t∈时，f（t）＜f=7，h（t）＞h=，
2^h（t）＞＞2³=8，所以f（t）＜．
综上，当t∈时，f（t）＞；
当t∈时，f（t）＜．
（3）g（x）=．
由题意可知，方程在{x|x≥-2且x≠2}中有实数解，
令=t，则t≥0且t≠2，
问题转化为关于t的方程mt²-t+2=0①，
有非负且不等于2的实数根．
若t=0，则①为2=0，显然不成立，
故t≠0，方程①可变形为m=-2²+，
问题进一步转化为求关于t的函数（t≥0且t≠2）的值域，
因为t≥0且t≠2，所以＞0且≠，
所以m=-2²+∈（-∞，0）∪（0，]，
所以实数m的取值范围是（-∞，0）∪（0，]．
分析：（1）有条件f（1）+f（3）=-2易得a的值．
（2）可利用定义讨论函数的单调性．
（3）实际上是根的存在行问题，可以通过等价转化求解．
点评：本题主要考查了函数的单调性以及根的存在性问题，比较复杂，但解题方法均为基本方法，要求掌握．