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①若f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,且在[-1,0]上是增函数,θ∈(
π
4
π
2
),则f(sinθ)>f(cosθ);
②若锐角α、β满足cosα>sinβ 则α+β<
π
2

③在△ABC中,“A>B”是“sinA>sinB”成立的充要条件;
④要得到函数y=sin(
x
2
-
π
4
)
的图象,只需将y=sin
x
2
的图象向右平移
π
4
个单位.
其中是真命题的有
②③
②③
(填写正确命题题号)
分析:根据偶函数的轴对称性,可判断函数的单调性,来判断f(sinθ)、f(cosθ)的大小;利用三角函数的单调区间,由函数值的大小,判断角的大小.
解答:解:∵θ∈(
π
4
π
2
),1>sinθ>cosθ>0,∵f(x)是[-1,1]上的偶函数,且在[-1,0]上是增函数,∴f(x)在[0,1]上是减函数,∴f(sinθ)<f(cosθ),∴①×;
∵α、β为锐角,
π
2
-α为锐角,cosα=sin(
π
2
-α)>sinβ,y=sinx在[0,
π
2
]递增,∴
π
2
-α>β,α+β<
π
2
,②√;
∵在△ABC中,若A<
π
2
,∵
π
2
>A>B>0⇒sinA>sinB;若A>
π
2
,∵A+B<π,∴0<B<π-A<
π
2
,sinB<sinA,∴满足充分性;
反过来sinA>sinB,若A、B∈(0,
π
2
],A>B;若A、B有一个为钝角,设B>
π
2
,sinA>sinB=sin(π-B),A+B>π与△ABC中,A+B+C=π矛盾,∴B<
π
2
,∴A为钝角,A>B,满足必要性.③√:
∵函数y=sin(
x
2
-
π
4
)=sin
1
2
(x-
π
2
)可由y=sin
x
2
向左平移
π
2
单位或向右平移4kπ-
π
2
个单位得到,∴④×
故答案是②③
点评:本题考查三角函数的性质及应用、图象变化规律、及充要条件的判断等知识,尤其是充要条件的判断,既要判断充分性,又要判断必要性.另三角函数单调性的应用一定要讨论角的范围.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

设y=f(x)是定义在区间(a,b)(b>a)上的函数,若对?x1、x2∈(a,b),都有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|,则称y=f(x)是区间(a,b)上的平缓函数.
(1)试证明对?k∈R3,f(x)=x2+kx+14都不是区间(-1,1)5上的平缓函数;
(2)若f(x)是定义在实数集R上的、周期为T=2的平缓函数,试证明对?x1、x2∈R,|f(x1)-f(x2)|≤1.

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科目:高中数学 来源: 题型:

14、下列命题中:
①若函数f(x)的定义域为R,则g(x)=f(x)+f(-x)一定是偶函数;
②若f(x)是定义域为R的奇函数,对于任意的x∈R都有f(x)+f(2-x)=0,则函数f(x)的图象关于直线x=1对称;
③已知x1,x2是函数f(x)定义域内的两个值,且x1<x2,若f(x1)>f(x2),则f(x)是减函数;
④若f (x)是定义在R上的奇函数,且f (x+2)也为奇函数,则f (x)是以4为周期的周期函数.
其中正确的命题序号是
①④

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科目:高中数学 来源: 题型:

若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切x,y>0,满足f(
x
y
)=f(x)-f(y).
(Ⅰ)求f(1)的值;
(Ⅱ)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f(
1
3
)<2.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知下列命题四个命题:
①若f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,且在[-1,0)上是增函数,θ∈(
π
4
π
2
)
,则f(sinθ)>f(cosθ);
②在△ABC中,A>B是cosA<cosB的充要条件;
③设函数f(x)=x2+2(-2≤x<0),其反函数为f-1(x),则f-1(3)=-1或1.
④在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知b2+c2=a2+bc,则A=
π
3

其中真命题的个数有(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

若f(x)是定义在[0,+∞)上的增函数,则不等式f(2x-1)<f(
13
)
的解集为
 

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