Question

【题目】如图所示，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD＝AE＝2，O，M分别为CE，AB的中点．

(1)求证：OD∥平面ABC；

(2)求直线CD和平面ODM所成角的正弦值；

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）通过证明线线平行得到线面平行；（2）C为原点，分别以CA，CB所在直线为x，y轴，以过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面ODM的一个法向量，利用直线与平面所成的角的公式，求出直线CD和平面ODM所成角的正弦值。

试题解析：(1)证明　如图，取AC中点F，连接OF，FB.

∵F是AC中点，O为CE中点，

∴OF∥EA且OF＝EA.

又BD∥AE且BD＝AE，

∴OF∥DB且OF＝DB，

∴四边形BDOF是平行四边形，∴OD∥FB.

又∵FB平面ABC，OD平面ABC，

∴OD∥平面ABC.

(2)解　∵平面ABDE⊥平面ABC，平面ABDE∩平面ABC＝AB，DB平面ABDE，且BD⊥BA，

∴DB⊥平面ABC.

∵BD∥AE，∴EA⊥平面ABC.

又△ABC是等腰直角三角形，且AC＝BC，

∴∠ACB＝90°，

∴以C为原点，分别以CA，CB所在直线为x，y轴，以过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．

∵AC＝BC＝4，∴C(0，0，0)，A(4，0，0)，B(0，4，0)，D(0，4，2)，E(4，0，4)，O(2，0，2)，M(2，2，0)，

∴＝(0，4，2)，＝(－2，4，0)，＝(－2，2，2)．

设平面ODM的法向量为n＝(x，y，z)，

则由n⊥，n⊥，可得

令x＝2，得y＝1，z＝1，∴n＝(2，1，1)．

设直线CD和平面ODM所成角为θ，

则sin θ＝＝＝＝.

∴直线CD和平面ODM所成角的正弦值为.