Question

已知{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）令bn=

1

(an+1)2-1

(n∈N*)，数列{b_n}的前n项和T_n，证明：Tn＜

3

4

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比数列，建立方程，求出公差，即可求得数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）求出数列{b_n}的通项，裂项法求数列的和，即可证得结论．

解答：（Ⅰ）解：由题意d≠0，
∵{a_n}是等差数列，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比数列
∴

1+2d

1

=

1+8d

1+2d

∴4d²-4d=0
∵d≠0，∴d=1
∵a₁=1，∴a_n=1+（n-1）×1=n；
（Ⅱ）证明：bn=

1

(an+1)2-1

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+2

）=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）＜

3

4

．

点评：本题考查数列的通项，考查不等式的证明，确定数列的通项，正确求和是关键．