如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30°的角.
求证:(1)CM∥平面PAD.
(2)平面PAB⊥平面PAD.
见解析
【解析】建立空间直角坐标系.(1)可证明与平面PAD的法向量垂直;也可将分解为平面PAD内的两个向量的线性组合,利用共面向量定理证明.
(2)取AP中点E,利用向量证明BE⊥平面PAD即可.
【证明】由题意可知:
以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴,CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.
∵PC⊥平面ABCD,
∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角,
∴∠PBC=30°.
∵PC=2,∴BC=2,PB=4.
∴D(0,1,0),B(2,0,0),
A(2,4,0),P(0,0,2),M(,0,),
∴=(0,-1,2),=(2,3,0),
=(,0,).
(1)方法一:令n=(x,y,z)为平面PAD的一个法向量,则
即∴
令y=2,得n=(-,2,1).
∵n·=-×+2×0+1×=0,
∴n⊥.又CM?平面PAD,
∴CM∥平面PAD.
方法二:∵=(0,1,-2),=(2,4,-2),
假设∥平面PAD,
则存在x0,y0使=x0+y0,则
方程组的解为
∴=-+.
由共面向量定理知与,共面,故假设成立.
又∵CM?平面PAD,
∴CM∥平面PAD.
(2)取AP的中点E,连接BE,则E(,2,1),
=(-,2,1).
易知PB=AB,∴BE⊥PA.
又∵·=(-,2,1)·(2,3,0)=0,
∴⊥,∴BE⊥DA.又PA∩DA=A,
∴BE⊥平面PAD.
又∵BE?平面PAB,
∴平面PAB⊥平面PAD.
科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业(三)第一章第三节练习卷(解析版) 题型:选择题
下列命题中是真命题的是( )
(A)x∈R,使得sinxcosx=
(B)x∈(-∞,0),2x>1
(C)x∈R,x2≥x+1
(D)x∈(0,),tanx>sinx
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业四十四第七章第三节练习卷(解析版) 题型:选择题
已知空间中有三条线段AB,BC和CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是( )
(A)AB∥CD
(B)AB与CD异面
(C)AB与CD相交
(D)AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业四十六第七章第五节练习卷(解析版) 题型:选择题
a,b,c是三条直线,α,β是两个平面,b?α,c?α,则下列命题不成立的是( )
(A)若α∥β,c⊥α,则c⊥β
(B)“若b⊥β,则α⊥β”的逆命题
(C)若a是c在α内的射影,a⊥b,则b⊥c
(D)“若b∥c,则c∥α”的逆否命题
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业四十六第七章第五节练习卷(解析版) 题型:选择题
已知直线m,n和平面α,β满足m⊥n,m⊥α,α⊥β,则( )
(A)n⊥β (B)n∥β
(C)n⊥α (D)n∥α或n?α
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业四十八第七章第七节练习卷(解析版) 题型:填空题
已知a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=ma+nb+(4,-4,1).若c与a及b都垂直,则m,n的值分别为 .
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业四十八第七章第七节练习卷(解析版) 题型:选择题
若平面α,β垂直,则下面可以是这两个平面的法向量的是( )
(A)n1=(1,2,1),n2=(-3,1,1)
(B)n1=(1,1,2),n2=(-2,1,1)
(C)n1=(1,1,1),n2=(-1,2,1)
(D)n1=(1,2,1),n2=(0,-2,-2)
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业四十二第七章第一节练习卷(解析版) 题型:解答题
如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作4个全等的矩形骨架,总计耗用9.6米铁丝.再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).
(1)当圆柱底面半径r取何值时,S取得最大值?并求出该最大值(结果精确到0.01平方米).
(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼,请作出灯笼的三视图(作图时,不需考虑骨架等因素).
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业四十三第七章第二节练习卷(解析版) 题型:选择题
一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
(A)πcm3 (B)3πcm3
(C)πcm3 (D)πcm3
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