【题目】已知函数,.
(1)令,可将已知三角函数关系转换成代数函数关系,试写出函数的解析式及定义域;
(2)求函数的最大值;
(3)函数在区间内是单调函数吗?若是,请指出其单调性;若不是,请分别指出其单调递增区间和单调递减区间(不需要证明).
(参考公式:)
【答案】(1)();(2);(3)不是单调函数,在单调递增,单调递减.
【解析】
(1)对t=sinx+cosx两边平方得2sinxcosx=t2﹣1,代入f(x)即可得出g(t)的解析式,由t=sinx+cosxsin(x)得出t的取值范围;
(2)化简g(t),判断g(t)的单调性得出g(t)的最大值,即f(x)的最大值;
(3)判断f(x)的极大值点是否为区间(0,)的端点即可.
(1)∵t=sinx+cosx,
∴t2=1+2sinxcosx,
∴2sinxcosx=t2﹣1.
∴f(x).
即g(t).
∵t=sinx+cosxsin(x).
∵x∈(0,),
∴x∈(.).
∴1<t.
∴g(t)的定义域为(1,].
(2)g(t)t1t.
∵y=t和y在(1,]上是增函数,
∴g(t)在(1,]上是增函数.
∴当t时g(t)取得最大值g().
∴f(x)的最大值是.
(3)f(x)在(0,)上不是单调函数.
由(2)可知当t时f(x)取得最大值,
即t=sinx+cosxsin(x).
∴x,于是x.
∴fmax(x)=f(),
∴f(x)在(0,)上不是单调函数.在(0,)上单调递增,在(,)上单调递减.
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【题目】已知函数f(x)=sin(x+ )+sin(x﹣ )+cosx+a(a∈R,a为常数). (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)若函数f(x)在[﹣ , ]上的最大值与最小值之和为 ,求实数a的值.
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【题目】偶函数y=f(x)在区间(﹣∞,﹣1]上是增函数,则下列不等式成立的是( )
A.f(﹣1)>f( )
B.f( )>f(﹣ )??
C.f(4)>f(3)
D.f(﹣ )>f( )
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【题目】在极坐标系中,点坐标是,曲线的方程为;以极点为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,斜率是的直线经过点.
(1)写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程;
(2)求证直线和曲线相交于两点、,并求的值.
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【题目】在一条笔直公路上有A,B两地,甲骑自行车从A地到B地,乙骑着摩托车从B地到A地,到达A地后立即按原路返回,如图是甲乙两人离A地的距离与行驶时间之间的函数图象,根据图象解答以下问题:
直接写出,与x之间的函数关系式不必写过程,求出点M的坐标,并解释该点坐标所表示的实际意义;
若两人之间的距离不超过5km时,能够用无线对讲机保持联系,求在乙返回过程中有多少分钟甲乙两人能够用无线对讲机保持联系;
若甲乙两人离A地的距离之积为,求出函数的表达式,并求出它的最大值.
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【题目】设函数f(x)=x2+aln(x+1). (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数F(x)=f(x)+ln 有两个极值点x1 , x2且x1<x2 , 求证F(x2)> .
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【题目】已知指数函数满足,定义域为的函数是奇函数.
(1)求函数的解析式;
(2)若函数在上有零点,求的取值范围;
(3)若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.
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【题目】某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数, 得到如下资料:
日期 | 1月10日 | 2月10日 | 3月10日 | 4月10日 | 5月10日 | 6月10日 |
昼夜温差 | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 | 6 |
就诊人数(个) | 22 | 25 | 29 | 26 | 16 | 12 |
该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取 2 组,用剩下的 4 组数据求 线性回归方程,再用被选取的 2 组数据进行检验;
(Ⅰ)求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率;
(Ⅱ)若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出 关于的线性回归方程 ;
(Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人, 则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?
附:对于一组数据, ,…,( ,其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为
, .
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