Question

【题目】如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点．

求证：(1)AN∥平面A1MK；

(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】试题分析： 要证明平面，只需要证明平行于平面内的一条直线，容易证明，从而得到证明；

要证明平面，只需要证明平面内的直线垂直于平面即可，而容易证明，从而问题得到解决；

解析：证明　(1)如图所示，连接NK.

在正方体ABCD—A1B1C1D1中，

∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，

∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，C1D1∥CD，C1D1＝CD.[2分]

∵N，K分别为CD，C1D1的中点，

∴DN∥D1K，DN＝D1K，

∴四边形DD1KN为平行四边形．

∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN.

∴四边形AA1KN为平行四边形．∴AN∥A1K.

∵A1K平面A1MK，AN平面A1MK，

∴AN∥平面A1MK.

(2)如图所示，连接BC1.

在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1.

∵M，K分别为AB，C1D1的中点，

∴BM∥C1K，BM＝C1K.

∴四边形BC1KM为平行四边形．∴MK∥BC1.

在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，

BC1平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.

∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.

∵四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C.

∴MK⊥B1C.

∵A1B1平面A1B1C，B1C平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.

又∵MK平面A1MK，

∴平面A1B1C⊥平面A1MK.