【题目】如图1,与是处在同-个平面内的两个全等的直角三角形,,,连接是边上一点,过作,交于点,沿将向上翻折,得到如图2所示的六面体
(1)求证:
(2)设若平面底面,若平面与平面所成角的余弦值为,求的值;
(3)若平面底面,求六面体的体积的最大值.
【答案】(1)证明见解析(2)(3)
【解析】
根据折叠图形, ,由线面垂直的判定定理可得平面,再根据平面,得到.
(2)根据,以为坐标原点,为轴建立空间直角坐标系,根据,可知,,表示相应点的坐标,分别求得平面与平面的法向量,代入求解.
设所求几何体的体积为,设为高,则,表示梯形BEFD和 ABD的面积由,再利用导数求最值.
(1)证明:不妨设与的交点为与的交点为
由题知,,则有
又,则有
由折叠可知所以可证
由平面平面,
则有平面
又因为平面,
所以....
(2)解:依题意,有平面平面,
又平面,
则有平面,,又由题意知,
如图所示:
以为坐标原点,为轴建立如图所示的空间直角坐标系
由题意知
由可知,
则
则有,
,
设平面与平面的法向量分别为
则有
则
所以
因为,解得
设所求几何体的体积为,设,
则,
当时,,当时,
在是增函数,在上是减函数
当时,有最大值,
即
六面体的体积的最大值是
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【题目】假如你的公司计划购买台机器,该种机器使用三年后即被淘汰,在购进机器时,可以一次性额外购买几次维修服务,每次维修服务费用200元,另外实际维修一次还需向维修人员支付小费,小费每次50元,在机器使用期间,如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数,则每维修一次需支付维修服务费用500元,无需支付小费,现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数,得下面统计表:
维修次数 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
频数 | 10 | 20 | 30 | 30 | 10 |
记表示1台机器在三年使用期内的维修次数,表示1台机器在维修上所需的费用(单位:元),表示购机的同时购买的维修服务次数.
(1)若,求与的函数解析式.
(2)若要求“维修次数不大于”的频率不小于0.8,求的值.
(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买10次维修服务,或每台都购买11次维修服务,分别计算这100台机器在维修上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买10次还是11次维修服务?
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【题目】健身馆某项目收费标准为每次60元,现推出会员优惠活动:具体收费标准如下:
消费次数 | 第1次 | 第2次 | 第3次 | 不少于4次 |
收费比例 | 0.95 | 0.90 | 0.85 | 0.80 |
现随机抽取了100位会员统计它们的消费次数,得到数据如下:
消费次数 | 1次 | 2次 | 3次 | 不少于4次 |
频数 | 60 | 25 | 10 | 5 |
假设该项目的成本为每次30元,根据给出的数据回答下列问题:
(1)估计1位会员至少消费两次的概率
(2)某会员消费4次,求这4次消费获得的平均利润;
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【题目】已知数列{an}满足a1+a2+…+an=an+1﹣2.
(1)若a1=2,求数列{an}的通项公式;
(2)若数列1,a2,a4,b1,b2,…bn,…成等差数列,求数列{bn}的前n项和为Sn.
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【题目】2019年国庆节假期期间,某商场为掌握假期期间顾客购买商品人次,统计了10月1日7:00-23:00这一时间段内顾客0这一时间段内顾客购买商品人次,统计发现这一时间段内顾客购买商品共5000人次顾客购买商品时刻的频率分布直方图如下图所示,其中时间段7:00 11:00,11:00 15:00,15:00 ~19:00,19:00~23:00,依次记作[7,11),[11,15),[15,19),[19,23].
(1)求该天顾客购买商品时刻的中位数t与平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);
(2)现从10月1日在该商场购买商品的顾客中随机抽取100名顾客,经统计有男顾客 40人,其中10人购物时刻在[19,23](夜晚),女顾客60人,其中50人购物时刻在[7,19)(白天),根据提供的统计数据,完成下面的2×2列联表,并判断是否有90%的把握认为“男顾客更喜欢在夜晚购物”?
附:
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【题目】某校为了解高一高二各班体育节的表现情况,统计了高一高二各班的得分情况并绘成如图所示的茎叶图,则下列说法正确的是( )
A.高一年级得分中位数小于高二年级得分中位数
B.高一年级得分方差大于高二年级得分方差
C.高一年级得分平均数等于高二年级得分平均数
D.高一年级班级得分最低为
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【题目】我国在贵州省平塘县境内修建的500米口径球面射电望远镜(FAST)是目前世界上最大单口径射电望远镜.使用三年来,已发现132颗优质的脉冲星候选体,其中有93颗已被确认为新发现的脉冲星,脉冲星是上世纪60年代天文学的四大发现之一,脉冲星就是正在快速自转的中子星,每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间(脉冲星的自转周期)是-定的,最小小到0.0014秒,最长的也不过11.765735秒.某-天文研究机构观测并统计了93颗已被确认为新发现的脉冲星的自转周期,绘制了如图的频率分布直方图.
(1)在93颗新发现的脉冲星中,自转周期在2至10秒的大约有多少颗?
(2)根据频率分布直方图,求新发现脉冲星自转周期的平均值.
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【题目】将函数f(x)=sin 3x-cos 3x+1的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,给出下列关于g(x)的结论:
①它的图象关于直线x=对称;
②它的最小正周期为;
③它的图象关于点(,1)对称;
④它在[]上单调递增.
其中所有正确结论的编号是( )
A.①②B.②③C.①②④D.②③④
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