Question

已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25及直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4．（m∈R）
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；
（2）求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）要证直线l无论m取何实数与圆C恒相交，即要证直线l横过过圆C内一点，方法是把直线l的方程改写成m（2x+y-7）+x+y-4=0可知，直线l一定经过直线2x+y-7=0和x+y-4=0的交点，联立两条直线的方程即可求出交点A的坐标，然后利用两点间的距离公式求出AC之间的距离d，判断d小于半径5，得证；
（2）根据圆的对称性可得过点A最长的弦是直径，最短的弦是过A垂直于直径的弦，所以连接AC，过A作AC的垂线，此时的直线与圆C相交于B、D，弦BD为最短的弦，接下来求BD的长，根据垂径定理可得A是BD的中点，利用（1）圆心C到BD的距离其实就是|AC|的长和圆的半径|BC|的长，根据勾股定理可求出

1

2

|BD|的长，求得|BD|的长即为最短弦的长；根据点A和点C的坐标求出直线AC的斜率，然后根据两直线垂直时斜率乘积为-1求出直线BD的斜率，又直线BD过A（3，1），根据斜率与A点坐标即可写出直线l的方程．

解答：解：（1）直线方程l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4，可以改写为m（2x+y-7）+x+y-4=0，所以直线必经过直线2x+y-7=0和x+y-4=0的交点．由方程组

2x+y-7=0 x+y-4=0

解得

x=3 y=1

即两直线的交点为A（3，1），
又因为点A（3，1）与圆心C（1，2）的距离d=

5

＜5，
所以该点在C内，故不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交．
（2）连接AC，当直线l是AC的垂线时，此时的直线l与圆C相交于B、D．BD为直线l被圆所截得的最短弦长．此时，|AC|=

5

，|BC|=5，所以|BD|=2

25-5

=4

5

．即最短弦长为4

5

．
又直线AC的斜率kAC=-

1

2

，所以直线BD的斜率为2．
此时直线方程为：y-1=2（x-3），即2x-y-5=0．

点评：本题考查学生会求两直线的交点坐标，会利用点到圆心的距离与半径的大小比较来判断点与圆的位置关系，灵活运用圆的垂径定理解决实际问题，掌握两直线垂直时斜率的关系，会根据斜率与一点坐标写出直线的方程，是一道综合题．