Question

设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃）是抛物线y=x²上的三个动点，其中x₃＞x₂≥0，△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形．
（1）求证：直线BC的斜率等于x₂+x₃，也等于

x2-x1

x3-x2

；
（2）求A、C两点之间距离的最小值．

Answer 1

分析：（1）设出直线BC的斜率，把点B，C代入抛物线方程，求得横坐标和纵坐标的关系代入斜率公式中，判断出k＞0，同时根据AB⊥BC则可表示出AB的斜率，然后根据弦长公式表示出AB和BC的长，根据题意使二者相等，整理出k的表达式，题设得证．
（2）x₃=k-x₂，x₁=-

1

k1

-x2，代入（1）中k的表达式，依据x₂的范围判断出k的范围，进而利用弦长公式，表示出|AC|，进而利用均值不等式求得其最小值．

解答：解：
（1）证明设直线BC的斜率为k，
∵y₂=x₂²，y₃=x₃²，x₃＞x₂≥0，
k=

y3-y2

x3-x2

=

x32-x22

x3-x2

=x3+x2＞0，
又∵AB⊥BC，∴直线AB的斜率为-

1

k1

=x1+x2＜0，
∴x₁＜-x₂＜0，由|AB|=|BC|，得

1+(- 1 k )2

|x₂-x₁|=

1+k2

|x₂-x₃|，
整理，得：k2=(

x2-x1

x3-x2

)2，而x₃＞x₂≥0＞x₁，
且k＞0，∴k=

x2-x1

x3-x2

（2）将x₃=k-x₂，x₁=-

1

k1

-x2，代入k=

x2-x1

x3-x2

中，
整理，得x₂=

k3-1

2k(k+1)

，
∵x₂≥0，k＞0，∴k≥1，
∵|AC|=

2

|BC|=

2

1+k2

|x₃-x₂|
=

2

1+k2

（k-

k3-1

k(k+1)

）
=

2(1+k2)

•

1+k2

k(k+1)

≥

k2+1+2k

•

2k

k(k+1)

=2
∴当且仅当k=1时，|AC|的最小值为2．

点评：本题主要考查了抛物线的应用，斜率公式及弦长公式的综合应用．考查了学生运算能力，推理能力和综合运用所学知识的能力．