Question

14．某广告公司设计一个商标图案ABCDEFGH，它的中间是一个正方形BDFH，外面是四个全等的等腰三角形，AB=AH=1，∠BAH=2α．
（1）若α=$\frac{π}{3}$时，求$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AE}$的值；
（2）当α取何值时，该商标图案ABCDEFGH所围成的面积S最大，并求出最大面积．

Answer 1

分析 （1）如图所示，可得AB=AH=1，∠BAH=2α=$\frac{2π}{3}$．可得A$（0，\frac{\sqrt{3}+1}{2}）$，B（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），E（0，-$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$），利用数量积的坐标运算即可得出．
（2）S_△ABH=$\frac{1}{2}•sin2α$．S_{正方形BDFH}=4sin²α．可得S_图案=2$\sqrt{2}$$sin（2α-\frac{π}{4}）$+2．利用三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）如图所示，
∵AB=AH=1，∠BAH=2α=$\frac{2π}{3}$．
∴BD=$2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
A$（0，\frac{\sqrt{3}+1}{2}）$，B（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），E（0，-$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$），
∴$\overrightarrow{AB}$=$（-\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{AE}$=$（0，-\sqrt{3}-1）$．
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AE}$=0-$\frac{1}{2}$（-$\sqrt{3}$-1）=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
（2）S_△ABH=$\frac{1}{2}×1×1×sin2α$=$\frac{1}{2}•sin2α$．
S_{正方形BDFH}=（2sinα）²=4sin²α．
∴S_图案=$4×\frac{1}{2}sin2α$+4sin²α
=2sin2α+2（1-cos2α）
=2$\sqrt{2}$$sin（2α-\frac{π}{4}）$+2．
∵0＜2α＜π，∴$-\frac{π}{4}＜2α-\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$．
∴当$2α-\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$即α=$\frac{3π}{8}$时，$sin（2α-\frac{π}{4}）$=1，S_图案取得最大值$2\sqrt{2}$=2．

点评 本题考查了数量积的运算性质、三角函数的单调性、和差公式与倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．