Question

（2012•西城区二模）若正整数N=a1+a2+…+an (ak∈N*，k=1，2，…，n)，则称a₁×a₂×…×a_n为N的一个“分解积”．
（Ⅰ）当N分别等于6，7，8时，写出N的一个分解积，使其值最大；
（Ⅱ）当正整数N（N≥2）的分解积最大时，证明：ak (k∈N*)中2的个数不超过2；
（Ⅲ）对任意给定的正整数N（N≥2），求出a_k（k=1，2，…，n），使得N的分解积最大．

Answer 1

分析：（I）将6，7，8分别进行分解，然后写出它们的一个分解积，使其值最大即可；
（II）由（Ⅰ）可知，a_k（k=1，2，…，n）中可以有2个2，当a_k（k=1，2，…，n）有3个或3个以上的2时，可举反例说明，从而证得结论；
（Ⅲ）讨论a_k（k=1，2，…，n）中有1，有2，有4的个数，以及有大于4的数，从而得到a_k（k=1，2，…，n）中只能出现2或3或4，且2不能超过2个，4不能超过1个，从而可得a_k（k=1，2，…，n），使得N的分解积最大．

解答：解：（Ⅰ）6=3+3，分解积的最大值为3×3=9；                  …（1分）
7=3+2+2=3+4，分解积的最大值为3×2×2=3×4=12；  …（2分）
8=3+3+2，分解积的最大值为3×3×2=18．               …（3分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，a_k（k=1，2，…，n）中可以有2个2．       …（4分）
当a_k（k=1，2，…，n）有3个或3个以上的2时，
因为2+2+2=3+3，且2×2×2＜3×3，
所以，此时分解积不是最大的．
因此，ak(k∈N*)中至多有2个2．                          …（7分）
（Ⅲ）解：①当a_k（k=1，2，…，n）中有1时，
因为1+a_i=（a_i+1），且1×a_i＜a_i+1，
所以，此时分解积不是最大，可以将1加到其他加数中，使得分解积变大．…（8分）
②由（Ⅱ）可知，a_k（k=1，2，…，n）中至多有2个2．
③当a_k（k=1，2，…，n）中有4时，
若将4分解为1+3，由 ①可知分解积不会最大；
若将4分解为2+2，则分解积相同；
若有两个4，因为4+4=3+3+2，且4×4＜3×3×2，所以将4+4改写为3+3+2，使得分解积更大．
因此，a_k（k=1，2，…，n）中至多有1个4，而且可以写成2+2． …（10分）
④当a_k（k=1，2，…，n）中有大于4的数时，不妨设a_i＞4，
因为a_i＜2（a_i-2），
所以将a_i分解为2+（a_i-2）会使得分解积更大．              …（11分）
综上所述，a_k（k=1，2，…，n）中只能出现2或3或4，且2不能超过2个，4不能超过1个．
于是，当N=3m（m∈N^*）时，N=

3+3+…+3

m个

使得分解积最大； …（12分）
当N=3m+1（m∈N^*）时，N=

3+3+…+3

(m-1)个

+2+2=

3+3+…+3

(m-1)个

+4使得分解积最大；                …（13分）
当N=3m+2（m∈N）时，N=

3+3+…+3

m个

+2使得分解积最大．…（14分）

点评：本题主要考查了数列的综合应用，同时考查了分类讨论的数学思想，以及计算能力，属于难题．