分析 (1)根据向量基本定理即可用$\overrightarrow{CA}$和$\overrightarrow{CB}$表示$\overrightarrow{CD}$;
(2)根据向量数量积与向量长度之间的关系转化为向量数量积进行计算即可求|CD|.
解答 解:(1)∵$\frac{AD}{DB}$=$\frac{2}{3}$,
∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{DB}$,
即$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{AB}$,
则$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{CA}$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{CA}$+$\frac{2}{5}$($\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CA}$)=$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{CB}$.
(2)∵a=4,b=5,C=$\frac{2π}{3}$,
∴$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=|$\overrightarrow{CA}$||$\overrightarrow{CB}$|cos120°=4×$5×(-\frac{1}{2})$=-10.
∵$\overrightarrow{CD}$=$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{CB}$.
∴$\overrightarrow{CD}$2=($\frac{3}{5}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{CB}$)2=$\frac{9}{25}$$\overrightarrow{CA}$2+2×$\frac{3}{5}$×$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$+$\frac{4}{25}$$\overrightarrow{CB}$2=$\frac{9}{25}$×25+2×$\frac{3}{5}$×$\frac{2}{5}$•(-10)+$\frac{4}{25}$×16=$\frac{169}{25}$,
则|CD|=$\sqrt{\frac{169}{25}}$=$\frac{13}{5}$.
点评 本题主要考查向量数量积的应用,根据向量基本定理用$\overrightarrow{CA}$和$\overrightarrow{CB}$表示$\overrightarrow{CD}$是解决本题的关键.
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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A. | $\sqrt{3}$ | B. | 2$\sqrt{3}$ | C. | 2 | D. | 4 |
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