Question

14．△ABC中，a=4，b=5，C=$\frac{2π}{3}$，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，点D在边AB上，且$\frac{AD}{DB}$=$\frac{2}{3}$．
（1）用$\overrightarrow{CA}$和$\overrightarrow{CB}$表示$\overrightarrow{CD}$；
（2）求|CD|．

Answer 1

分析 （1）根据向量基本定理即可用$\overrightarrow{CA}$和$\overrightarrow{CB}$表示$\overrightarrow{CD}$；
（2）根据向量数量积与向量长度之间的关系转化为向量数量积进行计算即可求|CD|．

解答 解：（1）∵$\frac{AD}{DB}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{DB}$，
即$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{AB}$，
则$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{CA}$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{CA}$+$\frac{2}{5}$（$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CA}$）=$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{CB}$．
（2）∵a=4，b=5，C=$\frac{2π}{3}$，
∴$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=|$\overrightarrow{CA}$||$\overrightarrow{CB}$|cos120°=4×$5×（-\frac{1}{2}）$=-10．
∵$\overrightarrow{CD}$=$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{CB}$．
∴$\overrightarrow{CD}$²=（$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{CB}$）²=$\frac{9}{25}$$\overrightarrow{CA}$²+2×$\frac{3}{5}$×$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$+$\frac{4}{25}$$\overrightarrow{CB}$²=$\frac{9}{25}$×25+2×$\frac{3}{5}$×$\frac{2}{5}$•（-10）+$\frac{4}{25}$×16=$\frac{169}{25}$，
则|CD|=$\sqrt{\frac{169}{25}}$=$\frac{13}{5}$．

点评 本题主要考查向量数量积的应用，根据向量基本定理用$\overrightarrow{CA}$和$\overrightarrow{CB}$表示$\overrightarrow{CD}$是解决本题的关键．